Задача про бассейн с тремя трубами

Решение задач на совместную работу

Главная > Решение

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Тема. Задачи на совместную работу (бассейн)

Ребята! Здравствуйте! Ознакомьтесь с основными понятиями по данной теме и разберите предложенные задачи. Советую Вам сначала попробовать самостоятельно составить математическую модель к задаче, затем проверить решение. Если возникнут вопросы по решению, можно их задать и получить консультацию по адресу:

1) Обычно объём работы принимают за единицу. В задачах с бассейнами и трубами объём бассейна принимают за единицу. Но можно также обозначить любой буквой (произвольной постоянной).

2) Производительность работы — это количество работы, выполненной за единицу времени.

Например, если одна труба наполняет бассейн за 5 часов, то за

1 час она наполнит бассейна. Если токарь выполняет задание за 12 дней, то за 1 день он выполнит часть задания.

3) При решении задач, связанных с выполнением (индивидуально или совместно) определенного объема работы, используют формулу

где А — количество всей работы, намеченной к выполнению (по смыслу задачи часто А принимают за единицу), t — время выполнения всего количества работы, P — производительность труда, т. е. количество работы, выполняемой в единицу времени.

Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется одним субъектом за t 1 , а вторым — за t 2 единиц времени, то производительность труда при их совместном выполнении того же объема работы равна

Решение задач на совместную работу

Пример 1. Две трубы вместе наполняют бассейн за 3 ч. Одна первая труба может наполнить бассейна на 8 ч быстрее, чем одна вторая труба. За сколько часов может наполнить бассейн одна первая труба?

Решение. Типовая задача на работу. Пусть 1-я труба наполняет бассейн за х(ч), а 2-я за – у(ч). Тогда + – объем, наполняемый обеими трубами вместе за 1ч. Так как две трубы наполняют бассейн за 3 ч, то за 1ч они наполнят объема бассейна. Уравнение + = ; по условию у – х = 8. Из системы х = 4; у = 12.

Замечание. Чтобы вместо дробно – рациональных уравнений получить линейные за неизвестную величину иногда рациональнее принять производительность.

Пример 2. Бассейн наполняется четырьмя трубами за 4 часа. Первая, вторая и четвертая заполняют за 6 часов. Вторая, третья и четвертая – за 5 часов. За сколько часов заполняют бассейн первая и третья трубы?

Решение. Пусть x, y, z, u – производительности 1-й, 2-й, 3-й и 4-й труб.(Если за неизвестное принять время выполнения всего объема работы, то уравнения получатся сложнее). Тогда получаем систему уравнений

Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получаем z = ; из 1-го 3-е, что – х = .

Общая производительность 1 и 3 труб z + x = .

Тогда искомое время = 7,5 ч

Пример 3. Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 6 часов. За какое время наполняет бассейн каждая труба, если известно, что в течение часа из первой трубы вытекает па 50% больше воды, чем из второй?

Решение. Пусть х л воды в час вытекает из первой трубы (производительность 1трубы), у л воды в час вытекает из второй трубы (производительность 2трубы), тогда за 1 час обе трубы наполнят ( х + у ) л или бассейна.

В течение часа из первой трубы вытекает на 50% больше воды, чем из второй, то есть х = 1,5 у .

Тогда .

Таким образом, за 1 час первая труба наполняет бассейна, а вторая бассейна. То есть первая труба наполнит весь бассейн за 10 часов, а вторая — за 15 часов.

Ответ: 10 ч, 15 ч.

Пример 4. Три насоса, качающие воду для поливки, начали работать одновременно. Первый и третий насосы закончили работу одновременно, а второй — через 2 ч после начала работы. В результате первый насос выкачал 9 м 3 воды, а второй и третий вместе 28 м 3 . Какое количество воды выкачивает за час каждый насос, если известно, что третий насос за час выкачивает на 3 м 3 больше, чем первый, и что три насоса, работая вместе, выкачивают за час 14 м 3 ?

Источник

Как решить задачу про бассейн с тремя трубами?

Бассейн при одновременном включении трёх труб может наполниться за 4 часа, через одну первую трубу — за 10 часов, а через одну вторую — за 15 часов. За сколько времени может наполниться пустой бассейн через одну третью трубу?

Задача на скорость наполнения должна и решаться с привлечением данных о скорости. Пока же нам дано только общее время и время заполнения двумя трубами по отдельности. Поэтому введем в решение скорость заполнения. Для труб скорость — это какой объем она сможет заполнить за час. Нам общий объем бассейна неизвестен, поэтому берем относительный. За час из первой трубы выливается 1/10 бассейна, из второй 1/15, в сумме за час этими двумя трубами наполняется 1/10+1/15=5/30=1/6 бассейна. За четыре часа наполняется 1/6*4=2/3 бассейна. Следовательно последняя труба за четыре часа заполняет оставшуюся часть — треть бассейна. Нам не надо даже определять сколько третья труба закачивает воды за час, ведь за 4 часа она наполняет третью часть бассейна. Значит целый бассейн наполнит за 4*3=12 часов.

обозначим всю работу через 1. Так как три одновременно работающих трубы выполнят всю работу на 4 часа, тогда за один час три трубы выполнят 1/4 всей работы.

Так как первая труба, работая одна, выполнит всю работу за 10 часов, то за один час она выполнит 1/10 всей работы.

Аналогично вторая труба, работая одна, выполнит за один час 1/15 всей работы. Обозначим за х часть работы, которую выполнить третья труба, работая одна. Итак, получим, что за один час совместной работы, три трубы выполнят 1/10+1/15+х. Так как по условию задачи за один час три трубы, работая совместно выполнят 1/4 всей работы, то получим уравнение:

Решая это уравнение, получим, что х=1/12.

То есть за один час третья труба, работая одна, выполнит 1/12 всей работы. Тогда за 12 часов третья труба, работая одна, выполнит всю работу.

Итак, ответ 12 часов.

Вес коробок с сахаром — 12 х 25 = 300 кг.,

Вес ящиков с подсолнечным маслом — 15 х 20 = 300 кг.

Вес всего груза — 300 + 300 = 600 кг.

Превышение грузоподъемности лифта вычисляем разницей между весом груза и грузоподъемностью лифта, это — 600 — 550 = 50 кг.

Ответ: грузоподъемность лифа превышена на 50 кг.

Решение автора действительно верное, по крайней мере мне так кажется. Поскольку я решила эту задачу точно также и получила из подобий треугольников следующее:

откуда легко находится отношение а/в=4/5.

Понятно, что 50 из условия должно относится к остальному кусочку веревки в той же пропорции тогда длина веревки получается 90, такая же как длина столба. И это наблюдается куда бы мы не вставили это отношение. Даже отношение между длинами столбов тоже самое — 4/5.

Вроде бы полный бред, но единственный вариант, который я вижу, что столбы совпадают. Я пыталась решить задачу графически, поставив один столб и изобразив окружностью геометрическое место возможных точек пересечений веревок. Получается, что чем ближе столбы стоят к друг другу, тем ближе подходит веревка с длинного столба к столбу короткому. То есть геометрия, говорит, что ответы получены правильные:

Источник

Решение текстовой задачи В13 (2015). Задача на трубы.

Задание В14 (№26599) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике: Первая труба пропускает на 3л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 648 л она заполняет на 3 мин. быстрее, чем первая труба?

В задачах «на трубы» мы имеем дело с тремя параметрами. Запишем их, и в скобках укажем их размерность:

• пропускная способность трубы — объём жидкости, который труба пропускает в единицу времени (л/мин);
• объём резервуара, который необходимо заполнить, или, наоборот, освободить (л);
• время (мин).

Эти параметры связаны таким соотношением:

Объём резервуара = пропускная способность время.

Заметим, что эти параметры аналогичны скорости, расстоянию и времени в задачах на движение, и связаны между собой таким же соотношением.

В задаче спрашивается, сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба — эту величину мы и примем за . Поскольку по условию задачи первая труба пропускает на 3л воды в минуту меньше, чем вторая, то пропускную способность первой трубы обозначим .

Занесем все данные задачи в таблицу. Сначала заполним столбец, который содержит величину, выраженную через неизвестное (это пропускная способность):

Теперь заполним столбец, параметры которого даны. Это объём резервуара:

Теперь параметры оставшегося столбца (времени) выразим через параметры первых двух (пропускную способность и объём резервуара):

Уравнение будем составлять для времени. По условию задачи вторая труба заполняет заполняет резервуар на 3 мин. быстрее, чем первая труба, следовательно величина на 3 меньше,чем величина .

Перенесем все слагаемые влево:

Чтобы упростить вычисления, разделим числитель каждой дроби на 3:

Приведем к общему знаменателю:

Приравняем числитель к нулю, раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим уравнение:

, , — не подходит по смыслу задачи.

Источник

Задача про бассейн с тремя трубами

Первая труба наполняет резервуар на 27 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 18 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Пусть вторая труба наполняет резервуар за минут, а первая — за + 27 минут. В одну минуту они наполняют соответственно и часть резервуара. Поскольку обе трубы, работая 18 минут, заполняют весь резервуар, имеем:

Следовательно, вторая труба заполняет заполнит весь резервуар за 27 минут.

Первая труба заполняет бассейн за 7 часов, а две трубы вместе — за 5 часов 50 минут. За сколько часов заполняет бассейн одна вторая труба?

Первая труба заполняет бассейн за 7 часов, две трубы вместе — за за 5 часов 50 минут то есть за 35/6 часа. Это значит, что за час первая труба заполняет 1/7 бассейна, а две трубы — 6/35 бассейна. При совместной работе производительности складываются, поэтому производительность второй трубы равна разности общей производительности и производительности первой трубы: бассейна в час. Тем самым, вторая труба заполняет бассейн за 35 часов.

То же самое решение составлением уравнения.

Поскольку первая труба заполняет бассейн за 7 часов, она заполняет одну седьмую бассейна в час. Пусть x — время, за которое вторая труба заполняет бассейн, в час она заполнит 1/х часть бассейна. Известно, что две трубы, работая одновременно, заполнили бассейн за 35/6 часа. Значит, в час они заполняли 6/35 бассейна. Тогда получаем:

Можно даже проще. Найдём время заполнения каждой трубы t, объём выполненной работы V и выполненную работу A (в нашем случае она будет равна 1, так как они заполнили 1 бассейн). Итак, время второй трубы обозначим за x, так как она нам не известна. А первая труба заполняет бассейн за 7 часов. Тогда объём работы 1 трубы будет равен 1/7. Аналогично 2 труба 1/х. Это мы нашли объём выполненной работы каждой трубой по отдельности. Нам известно что 2 трубы вместе выполнили данную работу за 5 часов 50 минут (то есть 5 целых 5/6). Тогда общий объём равен 6/35 (просто переведите 5 целых 5/6 в неправильную дробь и разделите 1 на на неё). Отсюда следует, что:

Добавили в пояснение.

Первая труба наполняет резервуар на 48 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар за 45 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Пусть вторая труба наполняет резервуар за x минут, а первая — за x + 48 минут. В одну минуту они наполняют соответственно и часть резервуара. Поскольку за 45 минут обе трубы заполняют весь резервуар, получаем:

Заметим, что при положительных x функция, находящаяся в левой части уравнения, убывает. Поэтому очевидное решение уравнения единственно. Решая это уравнение, получим Поскольку вторая труба заполняет резервуара в минуту, она заполнит весь резервуар за 72 минуты.

Первая труба наполняет резервуар на 90 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 24 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Пусть вторая труба наполняет резервуар за x минут, а первая — за x + 6 минут. В одну минуту они наполняют соответственно и часть резервуара. Поскольку за 4 минуты обе трубы заполняют весь резервуар, за одну минуту они наполняют одну четвертую часть резервуара:

Далее можно решать полученное уравнение. Но можно заметить, что при положительных x функция, находящаяся в левой части уравнения, убывает. Поэтому очевидное решение уравнения — единственно. Поскольку вторая труба заполняет резервуара в минуту, она заполнит весь резервуар за 6 минут.

Источник