Вычисление интеграла мора способом верещагина

2. Правило Мора-Верещагина (графический способ вычисления интеграла Мора)

Кроме метода начальных параметров существует эффективный универсальный метод определения перемещений в балках, рамах и упругих конструкциях произвольной конфигурации – метод Мора. Упругое перемещение (либо прогиб, либо угол поворота сечения) определяется по формуле:

, (1.3)

где – изгибающий момент от заданной нагрузки;– изгибающий момент от единичной силы, приложенной в той точке, в которой определяется перемещение.

Упрощение операций интегрирования возможно для конструкций с прямолинейной осью постоянной жесткости и основано на том, что эпюры от единичных усилий на прямолинейных участках оказываются линейными. Рассматривая эту процедуру применительно к участку балки, преобразуем интеграл Мора с учетом этой особенности. На рис. 1.3 сверху показан участок балки с эпюрой общего вида, а внизу эпюра , представляющая собой линейную функцию. В результате несложного расчета (подробности смотри в учебнике) установлено, что интеграл произведения двух функций и численно равен площади эпюры , умноженной на величину момента, взятого с эпюры в сечении, соответствующем центру тяжести эпюры .

. (1.4)

Если балка имеет несколько участков по длине, формула Верещагина будет иметь вид

, (1.5)

где – площадь эпюры моментов от внешней нагрузки (грузовой эпюры); – ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры; – число участков по длине балки.

При пользовании этой формулой надо уметь вычислять площади и координаты центров тяжести основных фигур: прямоугольника, прямолинейного треугольника и криволинейного треугольника. Минимально необходимые справочные данные приведены в табл. 1.1. Процедуру графического вычисления называют «перемножением» эпюр.

Эпюры и

эпюры ,

тяжести

Эпюры и

эпюры ,

тяжести

Примечания: 1. Все кривые в табл. 1.1 – квадратные параболы. 2. При «перемножении» эпюр одного знака их произведение положительно. 3. При «перемножении» эпюр разных знаков их произведение отрицательно.

В случае, если эпюра тоже линейная, операция перемножения обладает свойством коммутативности: безразлично, умножается ли площадь грузовой эпюры на ординату единичной или площадь единичной на ординату грузовой.

Рассмотрим на примере расчетной схемы, показанной на рис. 1.4, порядок решения задач при определении перемещения с помощью правила Мора-Верещагина. Определим прогиб в точке .

Чтобы построить эпюры и ,можно не определять опорные реакции: достаточно сосчитать момент на опореот нагрузки на консоли, построить эпюру на консоли, а затем соединить прямой линией значениеM на опореB с нулем на опореA.

В соответствии с формулой (1.5)

.

Источник

9.2 Вычисление интегралов Мора по правилу Верещагина

В реальных системах сечение по длине стержня не меняется, тогда величины жесткостей , , , можно вынести за знаки интегралов, тогда формула (1) примет вид:

В этих интегралах под интегралами стоят произведения двух функций. Одна функция, полученная из рассмотрения состояния заданного нагружения, а вторая – из единичного нагружения.

Поскольку единичное нагружение образуется единичной силой или единичным моментом, эпюры, от которых всегда линейны, то в подынтегральных выражениях вторая функция всегда линейна. Это обстоятельство позволяло предложить упрощенную методику вычисления интегралов Мора, путем перемножения эпюр получившее название правило Верещагина.

Согласно этому правилу интеграл Мора равен произведению площади эпюры от внешней нагрузки на ординату эпюры от единичной силы, взятую под центром тяжести первой эпюры. Площади и положения центров масс для типовых эпюр изгибающих моментов приведены на рисунке 32

Рисунок 32 – Перемножение эпюр по правилу Верещагина

В сопротивлении материалов и строительной механике существуют готовые таблицы результатов перемножения эпюр различных форм.

9.3 Частные случаи формулы Мора

9.3.1 Формула Мора для балок

В балках основным внутренним силовым фактором является изгибающий момент, а поперечные и продольные силы практически не оказывают влияния на прогиб, а потому ими можно пренебречь. Тогда в формуле Мора остается только первый интеграл. Кроме того, поскольку балка есть единичный стержень, то знак суммы будет отсутствовать, тогда формула Мора для балок примет вид:

9.3.2 Формула Мора для ферм

В стержнях ферм при правильном проектировании действуют только продольные силы, а изгибающие моменты и поперечные силы отсутствуют. Тогда в формуле Мора останется только второй интеграл. Кроме того, продольные силы всегда постоянны по длине стержней, а потому произведение N_p умноженное на N₁ можно вынести за знак интеграла, а интеграл:

.

Тогда формула Мора для ферм получит вид:

Расчет по этой формуле рекомендуется проводить в форме таблицы. Число строк в этой таблице всегда равно числу нагруженных стержней фермы.

Таблица 1 – Результаты расчета перемещений концов стержней фермы по формуле Мора

Для вычисления искомого перемещения необходимо сложить все цифры в графе 7.

9.4 Определение прогиба ферм как прогибов эквивалентных балок

Определение прогиба ферм по формуле Мора в виде таблицы отличается значительной трудоемкостью, а потому был предложен приближенный метод определения прогиба ферм как прогибов эквивалентных балок.

Эквивалентной называют такую балку, у которой прогиб в данном сечении такой же, как и у фермы при том же пролете и тех же нагрузках. Задача состоит в определении момента инерции эквивалентных балок, после чего для вычисления балок можно воспользоваться формулой Мора для балок.

Поскольку прогиб фермы определяется деформациями поясных стержней и стержней решетки, было предложено определять момент инерции эквивалентной балки как момент инерции поясов деленный на коэффициент, учитывающий влияние решетки:

.

Величина коэффициента зависит от конструкции решетки, и на практике можно принимать .

Рассмотрим поперечное сечение фермы, состоящее из одних поясов.

Рисунок 33 – Поперечное сечение фермы

x_в.п – x_в.п – собственная нейтральная ось сечения верхнего пояса;

x_н.п – x_н.п – собственная нейтральная ось сечения нижнего пояса;

x₀ – x₀ – нейтральная ось всего сечения;

a, b – расстояние нейтральной оси всего сечения до нейтральных осей, собственных, поясов.

Момент инерции всего сечения будет равен:

.

Практика показывает, что собственные моменты инерции крайне незначительны и ими можно пренебречь, тогда получим:

Рассматривая расстояние a и b как координаты всего сечения относительно осей x_в.п – x_в.п и x_н.п – x_н.п получим для них следующие выражения:

Подставляя формулы (2) в выражение (1) после преобразований получим окончательное выражение для моментов инерции поясов:

.

Источник

1.6. Графический способ вычисления интеграла Мора – способ Верещагина

Упрощение операции интегрирования основано на том, что эпюры от единичных усилий на прямолинейных участках оказываются линейными. Рассмотрим эту процедуру применительно к участку балки. На рис.1.16 сверху показан участок балки с эпюрой М_робщего вида, а внизу эпюра, представляющая линейную функцию. Преобразуем интеграл Мора

(а)

с учётом этой особенности. Как видно из верхнего чертежа, М_рdx = dω, а из нижнего чертежа имеем. Если кроме того считать, что жёсткостьEIна протяжении участка постоянна, вместо (а) будем иметь

. (б)

Интеграл представляет собой статический момент площади эпюрыМ_ротносительно осиу. Его можно записать иначе

S_y = ω ∙ x_c ,

где ω– площадь этой эпюрыМ_р;

х_с– координата центра тяжести эпюрыМ_р.

Отметив на нижней эпюре соответствующую ординату и обозначив её буквой m, будем иметь

x_ctg α = m.

В результате подстановки этих выражений в (б) получим

. (в)

Если балка имеет несколько участков по длине, формула Верещагина будет иметь вид

, (1.27)

где ∆ – обобщённое перемещение (либо прогиб υ, либо угол поворота θ);

ω_i– площадь эпюры моментов от внешней нагрузки (грузовой эпюры);

m_i– ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры;

n– число участков по длине балки.

При пользовании этой формулой надо уметь вычислять площади и координаты центров тяжести основных фигур: прямоугольника, прямолинейного треугольника и криволинейного треугольника. Минимально необходимые справочные данные приведены в табл.1.1. Процедуру графического вычисления называют «перемножением» эпюр.

В случае, если эпюра М_ртоже линейная, операция перемножения обладает свойством коммутативности: безразлично, умножается ли площадь грузовой эпюры на ординату единичной или площадь единичной на ординату грузовой.

Встречающиеся на практике эпюры могут быть, как правило, разбиты на простые фигуры, приведённые в табл.1.1.

Эпюры М_ри

Примечание: параболы – квадратные.

В качестве примера рассмотрим уже рассчитанную балку на рис.1.13. Чтобы построить эпюры М_р и , можно не определять опорные реакции: достаточно сосчитать момент на опореВ от нагрузки на консоли, построить эпюру на консоли, а затем соединить прямой линией значение М на опоре В с нулём на опоре А (рис.1.17).

В соответствии с формулой (1.27)

.

Конечно, результат получился такой же, что и при интегрировании по формуле Мора, но с меньшими затратами труда.

Глава 2. Статически неопределимые балки

2.1. Общие понятия

Изложенные в предыдущей главе методы определения перемещений широко применяются в расчётах статически неопределимых балок. Если при проектировании длинных балок (мостов, валов турбин) условия прочности и (или) жёсткости не выполняются, можно увеличить сечение балки, а можно поставить дополнительные опоры в пролёте (рис.2.1,б). Второй путь очень часто оказывается предпочтительным, так как позволяет, не увеличивая вес конструкции, сделать её более жёсткой.

Балка с промежуточными опорами становится статически неопределимой, так как трёх уравнений статики уже недостаточно для определения пяти неизвестных реакций.

Напомним, что простую статически неопределимую систему, образованную из стержней, работающих на растяжение-сжатие, мы рассматривали в разделе 2.5 первой части курса. Дополнительное уравнение для определения продольных сил в стержнях – уравнение совместности деформаций – было получено из рассмотрения схемы деформирования системы. Аналогичным по существу методом рассчитываются статически неопределимые балки.

Степень статической неопределимости определяется числом «лишних» связей. Балка на рис.2.1,б имеет две «лишних» промежуточных опоры – их можно удалить без ущерба для равновесия. Степень статической неопределимости этой балки равна двум.

Источник

Вычисление интеграла Мора способом Верещагина

Взятие интеграла Мора не всегда удобно и связано с необходимостью составления функции внутренних сил. Поэтому вместо интегрирования интеграла Мора можно воспользоваться графоаналитическим способом — способом перемножения эпюр (способом Верещагина). Рассмотрим этот метод подробнее.

Рассмотрим две эпюры. Пусть одна имеет произвольное очертание, а другая — прямолинейное.

Перемножение эпюры произвольного очертания и линейной эпюры способос Верещагина

Формула Верещагина:

Способ Верещагина перемножения эпюр можно сформулировать следующим образом.

Интеграл Мора равен произведению площади эпюры (любого очертания) на ординату прямолинейной эпюры, расположенную под центром тяжести эпюры Mk, деленному на жесткость стержня.

Интеграл (значение) считается положительным, если обе эпюры изгибающих моментов расположены по одну сторону от оси балки. Если перемножаемые эпюры располагаются по разные стороны от оси балки, то значение интеграла, полученное способом Верещагина, принимается отрицательным.

Отметим, что если брать интеграл непосредственно, то знак получается в результате вычислений «как бы автоматически». В способе Верещагина его следует ставить по вышеуказанному правилу.

Положительное значение интеграла означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента).

Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина, который предложил студент МИИЖТ Верещагин в 1924.

Источник