Теория прочности мора сопромат формула

Техническая механика

В предыдущей статье мы рассматривали случаи сочетания основных деформаций, когда в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, и суммарное напряжение в каждой точке можно было рассчитать простым алгебраическим сложением. Однако часто имеют место случаи сочетания основных деформаций, при которых в поперечных сечениях возникают и нормальные, и касательные напряжения, распределенные по площади сечений неравномерно и по разным законам.
Для таких случаев опытное определение величин, характеризующих прочность, невозможно, поэтому при оценке прочности детали приходится основываться на механических характеристиках данного материала, полученных из диаграммы растяжения.

Как известно, при растяжении прочность пластичных материалов характеризуется пределом текучести, а прочность хрупких материалов – пределом прочности. Эти напряжения считаются предельными, и в зависимости от их величины вычисляют допускаемые напряжения. Для упрощения расчетов величины напряжений при сочетании деформаций вводят понятие эквивалентного (равноопасного) напряжения.

Напряженные состояния при сочетании основных деформаций и одноосном растяжении называют равноопасными или эквивалентными, если их главные напряжения отличаются от предельного для данного материала в одинаковое число раз, т. е. коэффициенты запаса прочности для эквивалентных напряжений одинаковы.
Иными словами, эквивалентным считается такое напряжение при простом одноосном растяжении, которое равноопасно данному сочетанию основных деформаций.
Таким образом, условие прочности при сочетании основных деформаций, когда в поперечных сечениях действуют и нормальные и касательные напряжения, будет иметь вид: σ_экв ≤ [σ_p] .

Формулы для определения эквивалентных напряжений, которые затем сопоставляют с предельно допускаемыми, выводят на основании гипотез прочности.

Гипотезы прочности – это научные предположения об основной причине достижения материалом предельного напряженного состояния при сочетании основных деформаций.

В настоящее время при вычислении эквивалентных напряжений используют три гипотезы прочности: гипотезу наибольших касательных напряжений (или третья гипотеза прочности), гипотезу Мора (четвертая гипотеза прочности) и энергетическую гипотезу (пятая гипотеза прочности).
Применявшиеся ранее при расчетах первая (гипотеза Галилея) и вторая (гипотеза Мариотта-Сен-Венана) гипотезы прочности, основанные соответственно на наибольших нормальных напряжениях и линейных деформациях, в настоящее время не используются, поскольку плохо подтверждаются опытами.

Рассмотрим подробнее суть каждой из перечисленных гипотез прочности.

Третья теория прочности

Гипотеза наибольших касательных напряжений

Согласно этой гипотезе, предложенной в конце XVIII в., опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают предельной величины.

Если рассмотреть элементарную площадку в наклонном сечении продольно растягиваемого бруса, то при помощи простых геометрических выкладок можно убедиться, что касательное напряжение в такой площадке достигает максимальной величины, когда сечение располагается под углом 45˚ к оси бруса. При этом величина касательного напряжения будет равна половине разности между максимальным и минимальным нормальным напряжением:

В частном случае, если σ_min = 0 , то τ_max = σ_max/2 .

Чтобы вывести формулу для вычисления эквивалентных напряжений по третьей теории прочности, рассмотрим брус, у которого в поперечном сечении действуют нормальные σ и касательные τ напряжения (см. рисунок) .

Внутри бруса вблизи от произвольной точки В вырежем бесконечно малую призму abc , у которой грань ab совпадает с поперечным, грань ac – с продольным сечениями, а грань bc является главной площадкой, на которой действует главное напряжение σ₀ .
Согласно закону парности касательных напряжений в грани ac призмы также будут действовать касательные напряжения τ .
Поскольку в продольном сечении бруса нормальных напряжений нет, то здесь мы имеем дело со случаем плоского напряженного состояния, который называют упрощенным.

Рассмотрим равновесие призмы abc , для чего спроецируем все действующие на нее силы на оси z и y . Площадь грани bc обозначим dA (элементарная площадка). Тогда:

Σ Z = 0; σ₀ dAsinφ — τ dA cosφ — σ dA sinφ = 0
Σ Y = 0; σ₀ dA cosφ — τ dA sinφ = 0 .

Разделив обе части равенства на dA , получим:

(σ₀ – σ) sinφ = τ cosφ; σ₀ cosφ = τ sinφ .

Оба равенства разделим на cosφ и, исключив из них tgφ , получим выражение:

τ / (σ₀ — σ) = σ₀ / τ , что равнозначно квадратному уравнению σ₀ 2 — σ₀σ – τ 2 = 0 .

Решая это уравнение, получим:

(Здесь и далее знак √ обозначает квадратный корень).

Таким образом, главные напряжения в наклонных площадках в зонах точки А бруса определяют по формулам:

σ_max = σ/2 + 1/2 √(σ 2 + 4τ 2 ) σ_min = σ/2 — 1/2 √(σ 2 + 4τ 2 ) .

Следовательно, исходя из формулы (1) , максимальные касательные напряжения можно найти по формуле:

Поскольку τ_пред = σ_пред/2 , а эквивалентное напряжение не должно превышать предельного, то, применяя гипотезу наибольших касательных напряжений, имеем:

В результате мы получили формулу для вычисления эквивалентных напряжений:

Гипотеза наибольших касательных напряжений хорошо подтверждается опытами, в особенности для пластичных материалов.

Четвертая теория прочности

Гипотеза Мора

Большой вклад в разработке методов определения напряжений при сложном напряженном состоянии внес немецкий ученый Кристиан Отто Мор (Christian Otto Mohr, 1835-1918 г.г.) .
Заслуги К.О.Мора в науке сопротивление материалов трудно переоценить — он является создателем одной из теорий прочности (теория прочности Мора), графических методов определения напряжений при сложном напряжённом состоянии (круг Мора).
Мор впервые применил расчёт конструкций на невыгодное загружение с помощью так называемых линий влияния, создал теорию расчёта статически неопределимых систем методом сил. Этот ученый разработал также метод расчёта неразрезных балок с помощью уравнений трех моментов, предложил графический метод построения упругой линии в простых и неразрезных балках.

Гипотеза Мора, предложенная им в начале XX века может быть сформулирована так:
Опасное состояние материала наступает тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений.

По сути, это усовершенствованная и обобщенная гипотеза наибольших касательных напряжений, рассмотренная ранее, тем не менее, она дает возможность определять эквивалентные напряжения в балках с меньшей степенью погрешности и применима при расчетах на прочность как пластичных, так и хрупких материалов.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений, согласно гипотезе Мора имеет вид:

σ_экв = σ(1 – k)/2 + 1/2 (1 + k) √(σ 2 + 4τ 2 ) ,

Очевидно, что при k = 1 формула Мора тождественна формуле третьей теории прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений).

Пятая, или энергетическая теория прочности

Энергетическая гипотеза

При деформации элементарной частицы тела в общем случае изменяются ее форма и объем. Таким образом, полная потенциальная энергия деформации состоит из двух частей: энергии формоизменения и энергии изменения объема.
Энергетическая гипотеза прочности, предложенная в начале XX века в качестве критерия перехода материала в предельное состояние принимает только энергию формоизменения.

Согласно этой гипотезе, опасное состояние материала в данной точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения для этой точки достигает предельной величины.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений в соответствии с пятой (энергетической) теорией прочности имеет вид:

Эта формула хорошо подтверждается опытным путем для пластичных материалов и получила широкое распространение.

Следует отметить, что во всех приведенных выше формулах σ и τ — нормальные и касательные напряжения на площадке поперечного сечения, проходящего через опасную или предположительно опасную точку.

Источник

8.6. Теория прочности Мора

В отличие от изложенных выше теорий, теория Мора основывается не на гипотезах, а на экспериментальных данных. Зависимость между прочностными свойствами материала и видом напряженного состояния выводится и обосновывается с использованием кругов напряжений Мора. Для этого выбирается некоторое напряженное состояние, и одновременно увеличиваются его составляющие. Когда напряженное состояние станет предельным, на напряжениях и строится соответствующий им круг Мора. Среднее напряжение не учитывается. Опыт показывает, что ошибка при этом не превышает 10–15 %. Строится ряд таких кругов, соответствующих различным напряженным состояниям (рис. 8.2). Огибающая этих кругов, форма которой зависит от свойств материала, является его механической характеристикой.

Если огибающая предельных кругов Мора построена, то для ответа на вопрос, является ли напряженное состояние, характеризующееся главными напряжениями, предельным, и для оценки прочности материала следует построить для и круг напряжений в опасной точке материала. Прочность будет обеспечена, если он целиком лежит внутри огибающей. Для нахождения коэффициента запаса следует определить, во сколько раз необходимо увеличить и , чтобы круг касался огибающей.

Для построения действительной огибающей предельных кругов Мора потребовалось бы опытным путем исследовать всевозможные напряженные состояния. Это неосуществимая задача, поэтому на практике действительную огибающую заменяют прямыми касательными лишь к двум предельным кругам, соответствующим опытам на одноосное растяжение и сжатие.

Рис. 8.2. Огибающая кругов Мора для различных напряженных

Условие прочности для промежуточного напряженного состояния с главными напряжениями и предельным кругом Мора с центром в точке О₃ (рис. 8.3) получим из следующих геометрических соотношений.

Проведем прямые О₁М₁, О₂М₂ и О₃ М₃,соединяющие центры предельных кругов Мора и точки их касания с предельной прямой, а также отрезок BО₁ параллельный М₁М₂. Из подобия ∆О₁О₂В и ∆О₁О₃А получим следующие зависимости:

Рис. 8.3. Схема для получения условия прочности Мора

Учитывая эти обозначения, преобразуем последнее равенство к виду:

Тогда получим условие прочности по теории Мора:

Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, т. е. , теория прочности Мора совпадает с третьей теорией.

Выводы. Таким образом, разрушение материала может происходить путем отрыва одной части от другой и путем среза. Как правило, разрушение путем отрыва происходит хрупко, без заметных остаточных деформаций. Разрушение путем среза сопровождается пластическими деформациями. Поэтому первую и вторую теории можно применять для оценки прочности хрупких материалов, а третью и четвертую – пластических. Теория Мора позволяет учитывать разное сопротивление материала растяжению и сжатию.

8.7. Пример расчета

Задача 1. В опасной точке нагруженной детали напряженное состояние оказалось таким, как указано на схеме (рис. 8.4). Проверить прочность детали по третьей теории прочности, если [σ] = 160 МПа.

Рис. 8.4. Схема опасной точки

Задача 2. В опасной точке нагруженной детали напряженное состояние оказалось таким, как указано на схеме (рис. 8.5). Проверить прочность материала по третьей и четвертой теориям прочности, если σ_р = σ_сж и [σ] = 160 МПа.

Рис. 8.5. Схема опасной точки

.

Задача 3. В опасной точке нагруженной детали напряженное состояние оказалось таким, как указано на схеме (рис. 8.6). Проверить прочность материала по четвертой теории прочности, если [σ] = 90 МПа.

Рис. 8.6. Схема опасной точки

Источник