Теория прочности Мора (V теория прочности)
Теория прочности Мора позволяет учесть различие в свойствах материалов при растяжении и сжатии. Ее можно получить путем модификации теории наибольших касательных напряжений в соответствии с уравнением:
(7.35)
При одноосном сжатии в предельном случае s1=0, s3=–σт с
(7.36)
откуда определяется коэффициент k
(7.37)
для пластичных материалов, или
(7.38)
Условие прочности по теории Мора имеет следующий вид:
(7.39)
Замечания о выборе теории прочности
Обзор многочисленных теорий предельных состояний показывает, что совершенных теорий еще нет. Каждая из существующих теорий справедлива только в определенных условиях и для определенных материалов. Рассмотренными выше теориями можно пользоваться только при напряженных состояниях с главными напряжениями разных знаков. Возможность применения этих теорий в случаях трехосного растяжения или сжатия требует дополнительной экспериментальной проверки.
При выборе теории прочности в случае плоского напряженного состояния и объемного напряженного состояния с главными напряжениями разных знаков надо учитывать свойства материала. Если материал пластичен и одинаково работает на растяжение и сжатие, то следует пользоваться теорией наибольшей энергии формоизменения или теорией максимальных касательных напряжений. Если пластичный материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то следует применить теорию Мора. Расчет хрупких материалов при указанных напряженных состояниях следует производить по теории Мора.
27. Кручение с изгибом.
Для использования основных расчетных формул, использующих эквивалентные напряжения, необходимо определить главные нормальные напряжения. (Три главные напряжения определяются кубическим уравнением, точные решения которого даются формулами Кордано). 
Рис. 7.3 Однако в частном, но часто встречающемся случае плоского напряженного состояния, когда имеется совместное кручение и изгиб (или растяжение), возникает напряженное состояние, показанное на рис. 7.3 В этом случае максимальное и минимальное напряжения определяются формулой: 
Следовательно, учитывая, что 
, главные нормальные напряжения будут следующими: 
при этом эквивалентные напряжения примут вид: по теории наибольших касательных напряжений (3-я теория) 
по энергетической теории (4-я теория) 
по теории Мора (5-я теория) 
Сравнивая выражения для эквивалентных напряжений по теории наибольших касательных напряжений и энергетической теории, при 
> 
, что и имеет место в большинстве случаев, обе теории дают близкие друг к другу результаты. Для стержней круглого поперечного сечения, для которых момент сопротивления кручению Wk в два раза больше момента сопротивления изгибу Wизг: Wk = 2W, при воздействии на них изгибающего М и крутящего Мk моментов, последние три формулы принимают соответствующивй вид: 
Практические расчеты на прочность по допускаемым напряжениям при сложном напряженном состоянии ведутся, как правило, с использованием формулы Мора. Для хрупких материалов хорошее соответствие с опытом дали теории прочности, когда разрушение идет по схеме отрыва. Если же материал обладает одинаковыми механическими характеристиками при растяжении и сжатии (к = 1), то можно применить формулы гипотез наибольшего касательного напряжения и энергии формоизменения.
Порядок выполнения расчета
Исследуем этот вид деформации стержня на примере расчета вала кругового (кольцевого) поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения (рис. 1).
Примем следующий порядок расчета.
1. Разлагаем все внешние силы на составляющие
P1x, P2x, . , Pnx и P1y, P2y, . , Pny
2. Строим эпюры изгибающих моментов My и My. от этих групп сил.
У кругового и кольцевого поперечного сечений все центральные оси главные, поэтому косого изгиба у вала вообще не может быть, следовательно, нет смысла в каждом сечении иметь два изгибающих момента Mx, и My а целесообразно их заменить результирующим (суммарным) изгибающим моментом
который вызывает прямой изгиб в плоскости его действия относительно нейтральной оси n-n, перпендикулярной вектору Мизг. Эпюра суммарного момента имеет пространственное очертание и поэтому неудобна для построения и анализа. Поскольку все направления у круга с точки зрения п рочности равноценны, то обычно эпюру Мизг спрямляют, помещая все ординаты в одну (например, вертикальную) плоскость. Обратим внимание на то, что центральный участок этой эпюры является нелинейным.
3. Строится эпюра крутящего момента Мz.
Наибольшие напряжения изгиба возникают в точках k и k’, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 3),
где Wизг — момент сопротивления при изгибе.
В этих же точках имеют место и наибольшие касательные напряжения кручения
где Wр — момент сопротивления при кручении.
Как следует из рис. 3, напряженное состояние является упрощенным плоским (сочетание одноосного растяжения и чистого сдвига). Если вал выполнен из пластичного материала, оценка его прочности должна быть произведена по одному из критериев текучести. Например, по критерию Треска-Сен-Венана имеем
Учитывая, что Wр=2Wизг, для эквивалентных напряжений получаем
где — эквивалентный момент, с введением которого задача расчета вала на совместное действие изгиба и кручения, сводится к расчету на эквивалентный изгиб.
Аналогично для Мэкв по критерию Губера-Мизеса получаем
Тогда условие прочности для вала из пластичного материала будет иметь вид
Для стержня из хрупкого материала условие прочности следует записать в виде
где Мэкв должен быть записан применительно к одному из критериев хрупкого разрушения. Например, по критерию Мора
Обратим внимание на особенности расчета при сочетании изгиба, растяжения и кручения стержня прямоугольного поперечного сечения (рис. 4). Для выявления опасной точки здесь должны быть сравнены напряжения косого изгиба с растяжением в точке А, с эквивалентными напряжениями в точках В и С.
Полученные соотношения приобретают крайнюю необходимость и востребованность при выполнении Вами курсового проекта по основам конструирования при расчете на прочность и жесткость валов передач.
Источник
Для машиностроения Мех.мат / Лекция №22-механика
- Назначение теорий прочности
- Первая теория прочности
- Вторая теория прочности
- Третья теория прочности
- Четвертая теория прочности
- Теория прочности Мора
1. Назначение теорий прочности При простых видах нагружения (растяжении, сжатии, сдвиге, изгибе) условие прочности составляют сравнивая максимальное напряжение с соответствующим расчетным сопротивлением. При сложном напряженном состоянии (двух или трехосном) такое условие составить нельзя, потому что неизвестно как влияет каждое из главных напряжений на прочность материала. Поэтому прибегают к определенным теориям (теориям) прочности. Цель гипотез заменить сложное напряженное состояние на равнопрочное одноосное, напряжение при котором называют эквивалентным 
. Сравнивая 
с расчетным сопротивлением составляют условие прочности при сложном напряженном состоянии. Каждая теория берет за основу какой-то один фактор (реже два) и считает его единственным, который влияет на прочность материала, поэтому одни теории применимы для пластичных материалов, другие для хрупких. Правильность теорий проверяют экспериментами. Для двухосного напряженного состояния испытывают образцы на растяжение в виде трубок с созданием давления жидкости внутри. Такие опыты весьма сложны, трудоемки дорогостоящи. Трехосное напряженное состояние создают, помещая кубик материала в жидкость под большим давлением (гидростатическое давление). При этом на всех гранях кубика будет равное давление и, следовательно, все три главные напряжения равны. Теорий прочности много и поиски новых продолжаются и в настоящее время. Мы рассмотрим лишь классические теории прочности. 2. Первая теория прочности Эта теория прочности называется теорией наибольших нормальных напряжений, так как за критерий прочности приняты наибольшие нормальные напряжения. Согласно этой теории прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечивается, если наибольшее нормальное напряжение не превышает допускаемого напряжения на растяжение: 
. (1) Главный недостаток первой теории прочности состоит в том, что ею не учитываются два других главных напряжения: 
. В действительности же эти напряжения оказывают большое влияние на прочность материала. Так, при гидростатическом сжатии цементного кубика, он не разрушаясь, выдерживает напряжение во много раз превосходящее предел прочности. Аналогично ведут себя и другие материалы в тех же условиях. Выводы данной теории подтверждаются опытом лишь при растяжении хрупких материалов, разрушение которых происходит путем отрыва одной части материала от другой без развития заметных пластических деформаций. В настоящее время первая теория не применяется и имеет лишь историческое значение. 3. Вторая теория прочности Эта теория носит название теории наибольших линейных деформаций, так как за критерий прочности взята наибольшая линейная деформация. Согласно ей: 
, (2) где 
наибольшая линейная деформация, 
предельное значение деформации, полученное из опыта на растяжение. Значение 
определим по формуле: 
, а из формулы: 
. Подставив значения 
и 
в формулу (2), получим: 
. (3) Преимущество второй теории по сравнению с первой состоит в том, что ею учитывается влияние всех главных напряжений. С помощью этой теории можно объяснить, разрушение хрупких материалов при простом сжатии, когда торцы образцов смазываются маслом. В этом случае разрушение материала сопровождается образованием трещин в направлении сжатия, что объясняется развитием линейных деформаций, сопутствующих расширению материала в поперечном направлении. Как и первая, вторая теория недостаточно подтверждается опытами и в большей степени оправдывается для хрупких материалов. Она используется как составная часть более сложных теорий. 4. Третья теория прочности Эта теория носит название теории наибольших касательных напряжений, так как за критерий прочности взяты наибольшие касательные напряжения. Согласно ей: 
. (4) Наибольшие касательные напряжения при объемном напряженном состоянии находят по формуле: 
; 
. Подставив в формулу (4), получим: 
(5) Основной недостаток третьей теории прочности состоит в том, что в случаях объемною напряженного состояния ею не учитывается влияние главного напряжения 2. Теория наибольших касательных напряжений лучше всею подтверждается опытами с пластичными материалами, одинаково сопротивляющимися как растяжению, так и сжатию. Она достаточно широко используется при оценке их прочности. 5. Четвертая теория прочности Эта теория прочности носит название энергетической, так как основывается на предположении о том, что количество удельной потенциальной энергии деформации, накопленной к моменту наступления предельною напряженною состояния в материале, одинаково как при любом сложном состоянии, так и при простом растяжении. 
, (6) где е – удельная потенциальная энергия при сложном напряженном состоянии, согласно формуле (6): 
и 
. Подставив в формулу (6), получим: 
. От правой и левой частей уравнения возьмем квадратный корень: 
. Лучшие результаты эта теория дает при =0,5. Тогда окончательно получим: 
. (7) Эта теория применима для пластичных материалов. 6. Теория прочности Мора Условие прочности Мора имеет вид: 
, (8) где 
рlim – предельное напряжение при растяжении; ‘ сlim – предельное напряжение при сжатии. Для хрупких материалов предельными напряжениями являются пределы прочности на растяжение вр и сжатие вс. Для пластичных материалов предельными напряжениями будут пределы текучести тр и тс. Для большинства пластичных материалов тр=тс=т и коэффициент =1. Теория Мора превращается в третью теорию прочности. Таким образом, теория Мора может рассматриваться как теория пластичности, так и теория разрушения. В настоящее время эта теория используется для хрупких материалов.
Источник