Температурные перемещения формула мора

Содержание

Лекции и задачи по строительной механике
Расчет перемещений от изменения температуры
Расчет перемещений от изменения температуры
Перемещения от действия температуры

Лекции и задачи по строительной механике

Определение перемещений от действия температуры

Интеграл Мора, как отмечалось в предыдущем подразделе, может быть представлен в следующем виде:

. (5.33)

В выражении (5.33)  взаимный угол поворота торцевых сечений (рис. 5.19) элемента, имеющего бесконечно малую длину ds стержня от заданной внешней нагрузки;  взаимное смещение торцевых сечений ds;  взаимное смещение торцевых сечений вдоль оси, перпендикулярной оси элемента. В таком виде интеграл Мора может быть использован для определения перемещений не только от действия сил, но и от температуры.

Пусть верхнее волокно элемента ds нагрето на t1, а нижнее  на t2. При этом t1  t2 . Распределение температуры по высоте сечения принято по прямолинейному закону. При температурном коэффициенте линейного расширения  верхнее волокно удлинится на t1ds , а нижнее  на t2ds. На уровне нейтральной оси это удлинение, что очевидно из рис. 5.19, составит полусумму удлинений верхнего и нижнего волокон элемента ds.

. (5.34)

Выражение (5.34) соответствует тому состоянию элемента ds, при котором он по всей высоте сечения h получил равномерное изменение температуры. От неравномерного нагрева торцевые сечения элемента ds поворачиваются на угол

. (5.35)

Деформация сдвига в элементе ds не возникает, т.е.

Подставляя (5.34) и (5.35) в (5.33), получим интеграл Мора для определения температурных перемещений.

. (5.36)

Интеграл Мора (5.34) значительно упрощается тогда, когда интегрирование ведётся для прямолинейных или ломаных стержней, имеющих по длине постоянное поперечное сечение. В этом случае интегралы могут быть определены, как площади единичных эпюр.

, (5.37)

где и — площади единичных эпюр и .

При поперечном сечении элемента, несимметричном относительно нейтральной оси, в формулах (5.34) и (5.35) во втором слагаемом множитель, связанный с температурой, принимает вид , где у  расстояние от нижнего волокна до горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести. При этом необходимо помнить следующее правило знаков: если деформации элемента ds от температуры и от единичной силы одного знака, то соответствующие слагаемые в формулах (5.34) и (5.35) будут положительными, и соответственно наоборот.

Определение перемещений от осадки опор

При перемещениях опор любой статически определимой конструкции в её опорных закреплениях опорные реакции не возникают.

Пусть опора В рамы, представленной на рис. 5.20, получила осадку на величину . При определении линейного перемещения произвольной точки, например к, в единичном состоянии к этой точке в направлении искомого перемещения прикладывают сосредоточенную силу . От действия этой силы определяют опорные реакции.

На основании принципа возможных перемещений можно составить следующую аналитическую зависимость:

(5.38)

Действительное состояние Единичное состояние

В соответствии с третьим уравнением в (5.37) можно записать общую формулу для определения перемещений от i-й осадки опор:

. (5.39)

Произведение в (5.37) считается положительным, если опорная реакция направлена в противоположную сторону от осадки опор.

Источник

Расчет перемещений от изменения температуры

Для одной из рам, изображенных на рис. 2.2.1 – 2.2.25, требуется определить линейное перемещение сечения m и угол поворота сечения n. При расчете перемещений принять:

высоту поперечного сечения всех стержней h_c=0,1l;
положение центра тяжести поперечного сечения посередине его высоты;
коэффициент линейного расширения одинаковым для всех элементов системы и равным  = 10 -5 1/град;
параметр температуры t = 10 C (на схемах рам температура снаружи t_н не показана).

Исходные данные принять из табл. 2.2.

Температуры снаружи, t_н

Пример решения задачи

Исходные данные: схема рамы на рис. 2.2.25; l=2 м; h=2 м; t_н= t; t_в= -4t; l=2 м; t=10 C.

Эпюры изгибающих моментов и продольной силы в раме от единичной силы, приложенной в сечении m (для определения вертикального перемещения сечения m)

Эпюры изгибающих моментов и продольной силы в раме от единичного момента, приложенного в сечении n (для определения угла поворота сечения n)

 – коэффициент линейного расширения;

t’=( t_н + t_в)/2 – температура на оси стержня;

t’’=| t_н — t_в |;

ω_N₁, ω_M₁ – площадь эпюры соответственно N₁ и M₁ на участке (стержне).

Пояснения к решению задачи

В формуле Мора первый член учитывает влияние температурного удлинения (укорочения) стержней рамы на величину отыскиваемого перемещения, а второй член – влияние на перемещение температурного искривления стержней.
Знак первого члена формулы Мора устанавливается в зависимости от знака температуры на оси стержня (t’) и знака эпюры продольной силы; знак второго члена зависит от направления температурной кривизны и кривизны от изгиба, вызванного единичной силой. Если на каком-либо участке эти кривизны совпадают, то знак второго члена принимается положительным, в противном случае – отрицательным.

Учебники (учебные пособия)

Н.Н. Анохин. Строительная механика в примерах и задачах. Часть I. Статически определимые системы.

А.Ф. Смирнов и др. Строительная механика (стержневые системы).

Снитко Н.К. Строительная механика

А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика.

Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (под ред. Г.К. Клейна)

А.П. Мельчаков, А.С. Сытник. Построение эпюр внутренних силовых факторов в плоских рамах. Учебное пособие.

Источник

Расчет перемещений от изменения температуры

— высоту поперечного сечения всех стержней h_c= 0,1 l;

— положение центра тяжести поперечного сечения посередине его высоты;

— коэффициент линейного расширения одинаковым для всех элементов системы и равным a = 10 -5 1/град;

— параметр температуры t = 10 °C (на схемах рам температура снаружи t_н не показана).

Исходные данные принять из табл. 2.2.

Номер варианта
Температуры снаружи, t_н	t	-t	2t	-2t	4t	3t	-3t
Температура внутри, tв	-2t	-3t	4t	4t	-4t	-t	t
l, м	2,5
h, м	2,5

Пример решения задачи

Исходные данные: схема рамы на рис. 2.2.25; l= 2 м; h= 2 м; t_н= t; t_в= -4t; l= 2 м; t= 10 °C.

а) Эпюры изгибающих моментов и продольной силы в раме от единичной силы, приложенной в сечении m (для определения вертикального перемещения сечения m)

б) Эпюры изгибающих моментов и продольной силы в раме от единичного момента, приложенного в сечении n (для определения угла поворота сечения n)

в) Линейное (Δ _m) перемещение сечения m и угловое (φ _n) перемещение сечения n, найденные по формуле Мора

,
где	a – коэффициент линейного расширения;
t’=(t_н + t_в)/2 – температура на оси стержня;
t’’=\| t_н — t_в \|;
ω_N₁, ω_M₁ – площадь эпюры соответственно N₁ и M₁ на участке (стержне).

(м) = м = 6,45 мм,

(рад) = 0,004425 рад.

Пояснения к решению задачи

1) В формуле Мора первый член учитывает влияние температурного удлинения (укорочения) стержней рамы на величину отыскиваемого перемещения, а второй член – влияние на перемещение температурного искривления стержней.

2) Знак первого члена формулы Мора устанавливается в зависимости от знака температуры на оси стержня (t’) и знака эпюры продольной силы; знак второго члена зависит от направления температурной кривизны и кривизны от изгиба, вызванного единичной силой. Если на каком-либо участке эти кривизны совпадают, то знак второго члена принимается положительным, в противном случае – отрицательным.

Учебники (учебные пособия)

Шифр библиотеки ЮУрГУ	Автор(ы), название учебника (учебного пособия)
624.04(07) А697	Н.Н. Анохин. Строительная механика в примерах и задачах. Часть I. Статически определимые системы.
624.04(07) С863	А.Ф. Смирнов и др. Строительная механика (стержневые системы).
624.04(07) С535	Снитко Н.К. Строительная механика
624.04(07) Д203	А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика.
624.04(07) Р851	Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (под ред. Г.К. Клейна)
624.07(07) М487	А.П. Мельчаков, А.С. Сытник. Построение эпюр внутренних силовых факторов в плоских рамах. Учебное пособие.

Расчет перемещений от кинематического воздействия

Формулировка задачи

Для одной из рам, изображенных на рис. 2.3.1 – 2.3.25 требуется:

— определить линейное и угловое перемещение сечения n и взаимный угол поворота сечений m и k;

— изобразить изменение геометрии рамы от кинематического воздействия

При расчете перемещений принять: D = 10 -2 l, j = D/l.

Исходные данные принять из табл. 2.3.

Номер варианта
l, м	1,5	2,0	2,5	3,0	3,25	2,75	1,75
h, м	2,5

а) Единичное состояние и реакции в связях для определения линейного перемещения сечения n

б) Единичное состояние и реакции в связях для определения углового перемещения сечения n

в) Единичное состояние и реакции в связях для определения взаимного угла поворота сечений m и k

г) Линейное и угловые перемещения сечений от заданного смещения и неточности изготовления связей, найденные по формуле Мора

,
где	R_j₁ – реакция в j -той связи в соответствующем единичном состоянии;
S_j – заданное перемещение (неточность изготовления) j -той связи.

д) Геометрия рамы с учетом заданных смещений связей

Пояснения к решению задачи

1) Знак произведения R_j₁∙S_j устанавливается по правилу: если направление реакции совпадает с направлением заданного перемещения связи, то знак произведения положительный; в противном случае – отрицательный.

2) При заданной неточности изготовления элемента вышеприведенное правило знаков сохраняется, но в этом случае роль реакции играет внутренний силовой фактор в сечении элемента по направлению заданной неточности.

Учебники (учебные пособия)

Шифр библиотеки ЮУрГУ	Автор(ы), название учебника (учебного пособия)
624.04(07) А697	Н.Н. Анохин. Строительная механика в примерах и задачах. Часть I. Статически определимые системы.
624.04(07) С863	А.Ф. Смирнов и др. Строительная механика (стержневые системы).
624.04(07) С535	Снитко Н.К. Строительная механика
624.04(07) Д203	А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика.
624.04(07) Р851	Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (под ред. Г.К. Клейна)
624.07(07) М487	А.П. Мельчаков, А.С. Сытник. Построение эпюр внутренних силовых факторов в плоских рамах. Учебное пособие.

Источник

Перемещения от действия температуры

, (3)

где: — взаимный угол поворота торцевых сечений элемента длиной dz при изгибе от заданной нагрузки;

— взаимный угол закручивания торцевых сечений элемента длиной dz от заданного крутящего момента;

— взаимное смещение торцевых сечений элемента длиной dz от действия заданной осевой силы.

В таком виде формула Мора может быть использована не только когда деформации элемента dz вызваны силовым воздействием на систему, но и в случае, если они вызваны действием температуры. Значит, формула Мора в виде () может быть использована для определения перемещений системы, вызванных действием температуры.

Рассмотрим элемент стержня длиной dz, у которого верхние волокна нагреты на , а нижние – на (рис). Распределение температуры по высоте сечения примем линейным.

Тогда: – удлинение верхнего волокна элемента

– удлинение нижнего волокна элемента

– удлинение на оси z:

– угол взаимного поворота торцевых сечений элемента dz:

Деформаций кручения и сдвига не будет.

Подставив полученные выражения в (3), получим формулу для отыскания температурных перемещений:

(4)

Знак означает суммирование по всем стержням и участкам упругой системы. Если по длине стержня величины t ₁, t ₂, и h не меняются, то формула (4) принимает вид

(5)

Здесь и — площади единичных эпюр и . Если сечение несимметрично относительно оси z, то в формулы вместо войдет выражение , где y — расстояние от нижнего волокна до центра тяжести сечения.

Знаки членов формулы (5) определяются так: если деформации элемента dz от температуры и от единичной силы аналогичны друг другу, то знак соответствующего члена будет положительным, и наоборот.

При определении перемещений от действия температуры нельзя пренебрегать членом формулы (5), зависящим от продольной силы.