Росатом математика прошлых лет

Задания прошлых лет

НИУ МГСУ

• +7 (495) 781-99-88
• kanz@mgsu.ru
• г. Москва, Ярославское шоссе, 26

ЯЗЫК / LANGUAGE

МЫ В СОЦСЕТЯХ

• Сведения об образовательной организации
• Приемная комиссия
• Сведения о доходах
• Противодействие коррупции
• Поступающему
• Студенту
• Сотруднику
• Выпускнику
• Заказчику
• Организации
• ГР ЦКП
• Прием платежей
• Бассейн НИУ МГСУ
• Виртуальный тур
• Карта сайта
• Коронавирус
• English version

© 30.07.2023 | НИУ МГСУ
При копировании информации и фотографий — ссылка на сайт НИУ МГСУ обязательна.

Источник

Росатом математика прошлых лет

Множество M_k — объединение корней уравнений для n = 1, 2, . k. Здесь a_n — члены арифметической прогрессии, для которой a₂₀ = 59 и a₄₀ = 119. Найти сумму всех чисел из M₁₀₀.

Заметим, что является корнем уравнений для всех n и принадлежит M₁₀₀. Поэтому сумма вторых корней уравнений равна

Тип 0 № 6064

Найти a, b и c, для которых система

в области имеет ровно три решения.

Рассмотрим сначала систему из первых двух уравнений

заданной системы. Решением этой системы является объединение решений систем:

Условию удовлетворяют решения систем А, С и Д: и и и Для того, чтобы исходная система имела ровно три решения, необходимо и достаточно, чтобы эти три решения удовлетворяли третьему уравнению системы — В результате получаем систему уравнений для нахождения a, b и c:

Вычитая из третьего уравнения первое, найдем b:

Тогда из второго уравнения получим Подставим в первое уравнение:

Если то a если то снова Таким образом, получаем: и

Тип 0 № 6065

На сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки D и E так, что AD : AB = 1 : 3 и CE : CA = 1 : 4. Прямые CD, BE и медиана, проведенная из вершины A, попарно пересекаются в точках M, N и P. Найти отношение площадей треугольников MNP

По условию задачи на сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки D и E так, что и Здесь и Прямые CD, BE и медиана, проведенная из вершины A, попарно пересекаются в точках M, N и P. Нужно найти отношение площадей треугольников MNP и ABC (см. рис.).

1. Воспользуемся теоремой Менелая для треугольника CAT и секущей EB:

Введем обозначения: и В этих обозначениях предыдущее равенство примет вид:

2. Площадь Найдем отношение площадей получаем

3. Воспользуемся теоремой Менелая для треугольника BAT и секущей CD:

С учетом уравнения (1) и сложения с (2), получим

Подставляя полученное значение отношения в (2), после преобразования получим:

4. Воспользуемся теоремой Менелая для треугольника ANE и секущей MC:

5. Отношение площадей, после преобразования:

Наконец, объединяя с пунктом 2, получим

где В нашем случае Подставляя эти значения в полученную формулу, найдем

Тип 0 № 6066

Для многочлена найти x, при котором выражение принимает наименьшее возможное значение.

Для многочлена найти x, при котором выражение принимает наименышее возможное значение.

По условию задачи Перепишем это выражение в виде Следовательно, Надо найти наименьшее значение многочлена на отрезке Для этого найдем производную и разложим ее на множители:

Так как на [−2; 1) имеем а на (1; 2] имеем то точка минимума. Таким образом, многочлен принимает минимальное значение при

Решая это уравнение, получим

Тип 0 № 6067

Сколько пар чисел (x; y), и удовлетворяют системе

Найти значения первой координаты x таких решений

Из того что правые части этой системы неотрицательны, следует что и

Возводим оба уравнения полученной системы в квадрат

и складываем. В результате получим

Используя формулу дополнительного аргумента, перепишем это уравнение в виде:

Аналогично, вычислим и для

В обоих случаях условия и выполнены.

Тогда а В этом случае решение системы можно записать в виде

Условию и удовлетворяют наборы с и с Итого 4 решения.

Тогда a В этом случае решение системы можно записать в виде

Условию и удовлетворяют наборы с и с Итого 4 решения.

Всего получаем 8 решений. Выпишем значения первой координаты x таких решений:

Ответ: 4 пары; значение первой координаты:

Тип 0 № 6068

Числа x, y и z, не равные нулю, таковы, что их квадраты в указанном порядке являются последовательными членами арифметической прогрессии, а числа 10x, 4y 2 и 5z 3 — последовательными членами геометрической прогрессии. Найти все такие тройки x, y и z, известно, что отношение x :z рационально.

Запишем условия того, что квадраты чисел x, y и z являются последовательными членами арифметической прогрессии, а числа 10x, 4y 2 и 5z 3 — последовательными членами геометрической прогрессии:

Исключим переменную y 2 из второго уравнения системы:

Разделим правую и левую части уравнения на

Обозначим и перепишем последнее уравнение в виде По условию t — рациональное число. Уравнение может иметь рациональные корни Непосредственной подстановкой убеждаемся, что только удовлетворяет уравнению, поэтому уравнение имеет только один рациональный корень Тогда получим

Тип 0 № 6069

Маша строила числовое множество следующим образом. На первом шаге, она взяла точки 1 и 16 на числовой оси и написала между ними их среднее геометрическое. На втором и последующих шагах, между любыми двумя соседними числами, полученными на предыдущих этапах, она располагала их средние геометрические. Сколько чисел появится на числовой оси после десятого шага и какова их сумма? Какое число будет стоять на девятом месте, если считать, что полученное после десятого шага числовое множество упорядочено по возрастанию?

Если и то a, b являются последовательными членами геометрической прогрессии со После шага мы получим геометрическую прогрессию с первым членом знаменателем и числом членов В нашем случае и Следовательно, мы имеем геометрическую прогрессию, у которой первый член знаменатель прогрессии а число членов равно Сумма членов

Тип 0 № 6070

При каких значениях a система уравнений

имеет бесконечное число решений?

задает квадрат. Найдем уравнения его сторон. Для этого рассмотрим всевозможные случаи раскрытия модулей.

Случай 1. Раскрытие модулей +, +:

После преобразования этого уравнения получим

Случай 2. Раскрытие модулей +, −:

После преобразования этого уравнения получим

Случай 3. Раскрытие модулей −, +:

После преобразования этого уравнения получим

Случай 4. Раскрытие модулей −, −:

После преобразования этого уравнения получим

Второе уравнение системы задает прямую. Перепишем это уравнение в виде

Система уравнений будет иметь бесконечное число решений, если эта прямая проходит через одну из сторон квадрата. Получаем четыре системы уравнений для нахождения параметра a:

Объединение случаев 1−4 дает ответ:

Тип 0 № 6071

Точка M — середина ребра AD куба ABCDA’B’C’D’ с ребром a. Через точку B’ проведена прямая L, параллельная плоскостям A’BM и C’BD. Найти длину отрезка прямой L, расположенного внутри куба.

Для решения этой задачи воспользуемся методом координат. Поместим начало координат в точку A. Проведем ось X через точки A и D в направлении точки D, ось Y — через точки A и B в направлении точки B, ось Z — через точки A и A′ в направлении точки A′. Запишем координаты вершин куба

Плоскости A′BM и C′BD задаются уравнениями и соответственно. Найдем направляющий вектор прямой, по которой пересекаются эти плоскости. Заметим, что точка B принадлежит этой прямой, так как она принадлежит обеим плоскостям. Вторую точку на прямой (обозначим ее K) будем искать из условия Подставляя в уравнения плоскостей A′BM и C′BD, получим и Вычислим

и запишем уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору

Найдем точку пересечения этой прямой с гранью куба AA′D′D

Искомая длина равна расстоянию между точкой и точкой

Источник

Росатом математика прошлых лет

Если вы решили принять в новом году участие на данной олимпиаде, воспользуйтесь нашими подсказками для победы в конкурсе. Здесь вы можете бесплатно скачать новые задания, вопросы и правильные ответы, которые будут в новом учебном году.

Официальный сайт. 2021-2022 учебный год. Олимпиады для школьников. ВОШ. МОШ. ВСОШ. Открытый банк заданий. СТАТГРАД. ФИПИ. ФГОС. ОРКСЭ. УМК. МЦКО. Школа России. 21 век. ГДЗ. Решебник. Перспектива. Школа 2100. Планета знаний. Россия. Беларусь. Казахстан. РБ.

Для успешного участия в дистанционном отборочном туре школьнику необходимо:

зарегистрироваться на сайте org.mephi.ru или зайти в личный кабинет в информационной системе, воспользовавшись логином и паролем (для зарегистрированных ранее);
ознакомиться с регламентом проведения дистанционного тура;
войти на страницу интернет-тура, решить предложенные задачи.

На выполнение заданий дается по одной попытке и ограниченное количество времени. По физике — 3 часа, по математике — 4 часа для 11 класса и 3 часа для 7-10 класса. Поэтому рекомендуется:

приступать к выполнению задания только в том случае, если есть требуемое свободное время;
запастись необходимой литературой (особенно полезными будут задачники, выпускаемые НИЯУ МИФИ для школьников по решению олимпиадных задач);
иметь под рукой калькулятор (поскольку во всех задачах проверяется только численный ответ).

Для каждой задачи необходимо заполнить поле ответа (число), которое проверяется сразу после окончания работы над заданием в режиме on-line (максимальная оценка каждой задачи – 2 балла).

Олимпиада Росатом 2021 — 2022. Скачать бесплатно задания, ответы, решения

Источник

Росатом математика прошлых лет

Официальный сайт. 2022 — 2023 учебный год. Официальный сайт. МОШ. ВОШ. ВСОШ. КИМ. Открытый банк заданий. ВПР. РП. ФИПИ ШКОЛЕ. ДНР. ФГОС. ОРКСЭ. МЦКО. ФИОКО. ЕГЭ. ЕГЭ. ПНШ. ДОУ. УМК. Просвещение. Ответы. ГДЗ. Решебник. Школа России. Школа 21 век. Перспектива. Школа 2100. Планета знаний. Россия. Беларусь. ЛНР. Казахстан. РБ. Татарстан. Башкортостан

Скачать бесплатно новые задания, ответы и решения олимпиады школьников 2022-2023 года

Поздравляем вас с новым учебным годом! Готовы к новым испытаниям и новым призам и дипломам на Олимпиадах? Учащиеся, которые хотят получить льготы и хорошие оценки на экзамене в школе в 23 году, нужно участвовать в различных олимпиадах РФ. На этой странице Олимпиадных реальных задач и вопросов вы можете посмотреть, бесплатно скачать и распечатать полные варианты заданий, пошаговые решения и правильные ответы новой олимпиады школьников в формате PDF или Ворд / WORD. Разбор заданий и все задачи олимпиады подготовлены с учетом ошибок и знаний предмета школьников в прошлом учебном году 2021-2022.

Олимпиада проводится для учащихся 7-11 классов по математике и физике. Можно участвовать по двум предметам или одному.

Соревнование проходит в два этапа – отборочный и заключительный.
Отборочный этап олимпиады проводится в несколько независимых туров. Можно участвовать в нескольких турах, будет учитываться лучший результат.

Заключительный этап проходит в очной форме в Москве и регионах в феврале-марте.

Олимпиадные задания с ответами прошлых лет

Источник