Решение задач формула мора

Решение плоской задачи о.К. Мора Прямая задача Мора

Прямая задача Мора – это задача определения напряжений на произвольной площадке по известным главным напряжениям. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях объемного напряженного состояния, причем грани этого объема являются главными площадками. Секущей площадкой, параллельной главному напряжению σ₂, выделим из этого объема треугольную призму: Для определения напряжений на произвольной секущей площадке, рассмотрим переднюю грань призмы Запишем уравнения равновесия для системы сил, действующей на грани призмы. Для оси, касательной к наклонной площадке : . Сокращая общие множители и умножая все слагаемые на , получим , . (2.2) Для оси, нормальной к наклонной площадке : , откуда . Проведем следующие преобразования: и получим: . (2.3) Возведем в квадрат каждую часть полученных выражений (2.2) и (2.3): , . Суммируя попарно левые и правые части, получим: . Это уравнение в координатах является уравнением окружности с центром в точке,и радиусом: Полученная окружность называется кругом напряженийиликругом Мора. Круг Мора пересекает ось абсцисс в точках с координатами₁и₃. Определим координаты точки D_: , (2.4) , (2.5) что совпадает с полученными ранее формулами (2.2) и (2.3). Таким образом, каждой площадке, наклоненной под углом к главным площадкам, на круге Мора соответствует определенная точка. Радиус этой точки составляет с осью абсцисс угол 2, а ее координаты определяют напряжения на площадке_и_. Задача. В стержне с площадью поперечного сечения A=5х10 4 м 2 , растягиваемом силойF = 50 кН, определить нормальное и касательное напряжения, возникающие на площадке, наклоненной под угломк поперечному сечению стержня: В точках поперечного сечения возникают только нормальные напряжения, то есть площадка элементарного объема в окрестностях точки, совпадающая с этим сечением, является главной: , остальные главные напряжения отсутствуют, т.е. это одноосное напряженное состояние. Найдем напряжения на наклонной площадке. Вектор полного напряжения p, действующий на этой площадке, можно разложить на две составляющие: нормальную_и касательную_, для определения величины которых воспользуемся кругом Мора. Наносим в координатах точки, соответствующие главным напряжениями, и на этих точках, как на диаметре, строим круг Мора: Откладывая от оси абсцисс против часовой стрелки двойной угол , получаем на круге точку, отображающую состояние на наклонной площадке. Координаты этой точки являются искомыми напряжениями и вычисляются по формулам (2.4) и (2.5): ,.

Обратная задача Мора

Обратная задача Мора состоит в определении главных напряжений по известным напряжениям на произвольной площадке. Рассмотрим её на конкретном примере. Задача. Определить главные напряжения в опасной точке стержня, подвергающегося совместному действию изгиба и кручения: Построив эпюры внутренних силовых факторов, заключаем, что опасным сечением стержня является сечение заделки, в котором действует наибольший по величине изгибающий момент M_x. Для нахождения опасной точки в опасном сечении рассмотрим распределение нормальных и касательных напряжений по опасному сечению: В данном случае имеется две равноопасные точки – BиC, в которых действуют максимальные нормальные и касательные напряжения, одинаковые по величине, но разные по направлению. Рассмотрим напряженное состояние в точкеВ, выделив в её окрестности элементарный объем и расставив вектора напряженийина его гранях. Величины напряжений иможно определить по формулам: , . Рассмотрим выделенный куб со стороны грани, свободной от напряжений (сверху): Обозначим две взаимно перпендикулярные площадки и. На площадкедействуют нормальноеи касательное напряжение. На площадкедействуют только касательное напряжение(согласно закону парности касательных напряжений). Порядок построения круга Мора:

1. В системе координат нанести точки с координатами(_,_) и(_,_). При этом нормальное напряжение считается положительным, если оно вызывает растяжение, а касательное – если оно действует по часовой стрелке относительно центра элемента.
2. Соединить полученные точки D_иD_отрезком. Точка пересечения этого отрезка с осью абсциссOявляется центром круга Мора.
3. Построить окружность с центром в точке Oи радиусомOD_. Координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс дают величины главных напряжений (в нашем случае_, и_).
4. Пересечение площадок (горизонталь) и(вертикаль) дает положение полюса площадок круга МораP_пл(точка, в которой пересекаются все площадки).
5. Провести из полюса P_пллучи через точки (_, 0) и (_, 0). Эти лучи задают положение главных площадок.

Наносим положение главных площадок и направление главных напряжений на рассматриваемую площадку: Радиус круга Мора , тогда главные напряжения , .

Источник

Определение прогибов и углов поворотов методом Мора

Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.

Получение формулы интеграла Мора

Рассмотрим балку, изображенную на рис. 15.6, а. Обозначим и , соответственно, изгибающий момент и поперечную силу, возникающие в заданной балке от действующей на нее группы нагрузок P. Пусть требуется определить прогиб балки () в точке K.

Введем в рассмотрение вспомогательную балку (та же балка, но нагруженная только единичной силой либо единичным изгибающим моментом). Нагрузим ее только одной силой (рис. 15.6, б). Единичную силу приложим в точке K, где нужно определить прогиб.

Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной балке, обозначим и .

Воспользуемся теперь теоремой о взаимности работ, согласно которой работа внешних сил, приложенных к вспомогательной балке на соответствующих перемещениях заданной балки равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил заданной балки на соответствующих перемещениях вспомогательной балки. Тогда .

При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием поперечной силы, ( не учитывать второе слагаемое).

Тогда, учитывая, что , окончательно получим формулу интеграла Мора : .

Определение перемещений по формуле интеграла Мора часто называют определением перемещений методом Мора , а саму формулу – интегралом Мора .

Входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z.

Заметим, что если мы хотим в этой же точке K определить угол поворота поперечного сечения (), то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, а единичный момент (рис. 15.6, в).

порядок вычисления перемещений методом Мора:

· к вспомогательной балке в той точке, где требуется определить перемещение, прикладываем единичное усилие. При определении прогиба прикладываем единичную силу , а при определении угла поворота – единичный момент ;

· для каждого участка балки составляем выражения для изгибающих моментов заданной () и вспомогательной () балок;

· вычисляем интеграл Мора для всей балки по соответствующим участкам;

· если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного усилия. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия.

Вычисление интеграла Мора пример

Пусть для шарнирно опертой балки постоянной изгибной жесткости , длиной l, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 15.7, а), требуется определить прогиб посредине пролета () и угол поворота на левой опоре ().

определение прогиба с помощью интеграла Мора

В том месте, где нам нужно определить прогиб, к вспомогательной балке прикладываем единичную силу (рис. 15.7, б).

Записываем выражения для изгибающих моментов для каждого из двух участков () заданной и вспомогательной балок:

.

.

Вычисляем интеграл Мора . Учитывая симметрию балки, получим:

.

Определение угла поворота методом Мора

Нагружаем вспомогательную балку единичным моментом , прикладывая его в том месте, где мы ищем угол поворота (рис. 15.7, в).

Записываем выражения для изгибающих моментов в заданной и вспомогательной балках только для одного участка ():

;

.

Тогда интеграл Мора будет иметь вид:

.

Положительный знак в выражении для угла поворота поперечного сечения балки указывает на то, что поворот сечения происходит по направлению единичного момента .

Источник

метод Верещагина

Определить перемещение точки К балки (см. рис.) при помощи интеграла Мора.

1) Составляем уравнение изгибающего момента от внешней силы M_F.

2) Прикладываем в точке К единичную силу F = 1.

3) Записываем уравнение изгибающего момента от единичной силы .

Определить перемещение точки К балки по способу Верещагина.

2) Прикладываем в точке К единичную силу.

; ;

Определить углы поворота на опорах А и В для заданной балки (см. рис.).

Строим эпюры от заданной нагрузки и от единичных моментов, приложенных в сечениях А и В (см. рис.). Искомые перемещения определяем с помощью интегралов Мора

,

, которые вычисляем по правилу Верещагина.

C₁ = 2/3, C₂ = 1/3,

а затем и углы поворота на опорах А и В

Определить угол поворота сечения С для заданной балки (см. рис.).

Определяем опорные реакции R_A=R_B,

, , R_A = R_B = qa.

Строим эпюры изгибающего момента от заданной нагрузки и от единичного момента, приложенного в сечении С, где ищется угол поворота. Интеграл Мора вычисляем по правилу Верещагина. Находим параметры эпюр

C₂ = —C₁ = -1/4,

а по ним и искомое перемещение

.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

1. Построение эпюр изгибающих моментов.

Эпюра M_F (рис. б)

ВЕ: , ,

, R_B + R_E = F, R_E = 0;

АВ: , R_А = R_В = F; , .

Вычисляем моменты в характерных точках , M_B = 0, M_C = Fa и строим эпюру изгибающего момента от заданной нагрузки.

Эпюра (рис. в).

В сечении С, где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента, вычисляя сначала опорные реакции ВЕ — , , = 2/3; , , = 1/3, а затем моменты в характерных точках , , .

2. Определение искомого прогиба. Воспользуемся правилом Верещагина и вычислим предварительно параметры эпюр и :

,

.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С. Пользуясь правилом Верещагина, вычисляем параметры эпюр ,

.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

1. Построение эпюр изгибающих моментов.

, , R_A = 2qa,

, R_A + R_D = 3qa, R_D = qa.

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С.

2. Определение перемещений. Для вычисления интеграла Мора воспользуемся формулой Симпсона, последовательно применяя ее к каждому из трех участков, на которые разбивается балка.

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок СD:

.

Определить прогиб сечения А и угол поворота сечения Е для заданной балки (рис. а).

1. Построение эпюр изгибающих моментов.

Эпюра М_F (рис. в). Определив опорные реакции

, , R_B = 19qa/8,

, R_D = 13qa/8, строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М_F от заданной нагрузки.

Эпюра (рис. д). В сечении А, где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента.

Эпюра (рис. е). Эта эпюра строится от единичного момента, приложенного в сечении Е, где ищется угол поворота.

2. Определение перемещений. Прогиб сечения А находим, пользуясь правилом Верещагина. Эпюру М_F на участках ВС и CD разбиваем на простые части (рис. г). Необходимые вычисления представляем в виде таблицы.

Источник