- 2. Правило Мора-Верещагина (графический способ вычисления интеграла Мора)
- 2)Вывод формулы способа Верещагина для вычисления интеграла Мора.
- Билет 20
- 1)Главные осевые моменты инерции. Определение их величин и направлений главных осей.
- 2) Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (определение напряжений и перемещений).
- Билет 21
- 1)Определение перемещений при растяжении-сжатии.
- 2) Расчёт на прочность при изгибе. Понятие о расчётном и нормативном коэффициенте запаса.
- метод Верещагина
2. Правило Мора-Верещагина (графический способ вычисления интеграла Мора)
Кроме метода начальных параметров существует эффективный универсальный метод определения перемещений в балках, рамах и упругих конструкциях произвольной конфигурации – метод Мора. Упругое перемещение (либо прогиб
, либо угол поворота сечения
) определяется по формуле:
, (1.3)
где – изгибающий момент от заданной нагрузки;
– изгибающий момент от единичной силы, приложенной в той точке, в которой определяется перемещение.
Упрощение операций интегрирования возможно для конструкций с прямолинейной осью постоянной жесткости и основано на том, что эпюры от единичных усилий на прямолинейных участках оказываются линейными. Рассматривая эту процедуру применительно к участку балки, преобразуем интеграл Мора с учетом этой особенности. На рис. 1.3 сверху показан участок балки с эпюрой общего вида, а внизу эпюра
, представляющая собой линейную функцию. В результате несложного расчета (подробности смотри в учебнике) установлено, что интеграл произведения двух функций
и
численно равен площади эпюры
, умноженной на величину момента, взятого с эпюры
в сечении, соответствующем центру тяжести эпюры
.
. (1.4)
Если балка имеет несколько участков по длине, формула Верещагина будет иметь вид
, (1.5)
где – площадь эпюры моментов от внешней нагрузки (грузовой эпюры);
– ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры;
– число участков по длине балки.
При пользовании этой формулой надо уметь вычислять площади и координаты центров тяжести основных фигур: прямоугольника, прямолинейного треугольника и криволинейного треугольника. Минимально необходимые справочные данные приведены в табл. 1.1. Процедуру графического вычисления называют «перемножением» эпюр.
Эпюры и
эпюры ,
тяжести
Эпюры и
эпюры ,
тяжести
Примечания: 1. Все кривые в табл. 1.1 – квадратные параболы. 2. При «перемножении» эпюр одного знака их произведение положительно. 3. При «перемножении» эпюр разных знаков их произведение отрицательно.
В случае, если эпюра тоже линейная, операция перемножения обладает свойством коммутативности: безразлично, умножается ли площадь грузовой эпюры на ординату единичной или площадь единичной на ординату грузовой.
Рассмотрим на примере расчетной схемы, показанной на рис. 1.4, порядок решения задач при определении перемещения с помощью правила Мора-Верещагина. Определим прогиб в точке .
Чтобы построить эпюры и
,можно не определять опорные реакции: достаточно сосчитать момент на опоре
от нагрузки на консоли, построить эпюру на консоли, а затем соединить прямой линией значениеM на опореB с нулем на опореA.
В соответствии с формулой (1.5)
.
Источник
2)Вывод формулы способа Верещагина для вычисления интеграла Мора.
Если стержень состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках оказываются линейными.
Положим, на участке длиной 1 нужно взять интеграл от произведения двух функцийf1(z)*f2(z):J =f1 (z) f2(z) dz (1)
при условии, что хотя бы одна из этих функций — линейная. Пусть f2(Z) =b +kz. Тогда выражение (1) примет видJ =f1 (z) dz+ k
zf1 (z) dz
Первый из написанных интегралов представляет собой площадь, ограниченную кривой f1 (z) (рис. 5.18), или, короче говоря, площадь эпюрыf1(z):
Второй интеграл характеризует статический момент этой площади относительно оси ординат, т.е.
где Zц.т — координата центра тяжести первой эпюры. Теперь получаем
Но =f2(zц.т.) Следовательно,
Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой.
Билет 20
1)Главные осевые моменты инерции. Определение их величин и направлений главных осей.
Оси, относительно которых центробежный момент JXcYc=0, наз-ся главными. Осевые моменты инерции относительно главных осей наз-ся главными моментами инерции.
«+» соответсвует максимальному моменту инерции, « — » — минимальному. После того как сечение вычерчено в масштабе и показано положение главных осей на глаз устанавливается направление осей (которой из двух соответствует максимальный, а которой – минимальный момент инерции).
2) Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (определение напряжений и перемещений).
На рисунке показана полученная методом теории упругости эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как мы видим, напряжения равны нулю. Наибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон, в точках А:
τА= τmax=
в=
τmax, где а — большая, b — малая сторона прямоугольника. Коэффициенты
и
зависят от отношения сторон
Коэффициент β также зависит от этого отношения. Эти данные приводятся в таблицах.
Угловое перемещение:
Ф-ла для расчёта касательных напряжений: , где
для расчёта углового перемещения:
Для прямоугольника: ,
–геометрические параметры, зависящие от формы сечения.
Потенциальная энергия, накопленная закрученным брусом:
Билет 21
1)Определение перемещений при растяжении-сжатии.
, где W – перемещение,
– удлинение, N – внутренняя сила на участке, E – модуль упругости первого рода, А – площадь поперечного сечения на участке.
Для однородного стержня длины , при Е= const, N = const:
2) Расчёт на прочность при изгибе. Понятие о расчётном и нормативном коэффициенте запаса.
По принципу независимости действия сил нормальное напряжение в произвольной точке, принадлежащей поперечному сечению бруса и имеющей координаты x, y, опр-ся суммой напр-й, обусловленных моментами Mx и My , т.е. (5.26)
Mx = Msin; My = Mcos, где- угол между плоскостью главного мемента М и осью Ох или Оу. (5.25)
Правило знаков для моментов: момент считается положительным, если в первой четверти координатной плоскости (там, где координаты x и y обе положительны) он вызывает сжимающие напряжения.
Если изгиб чистый, то один из моментов Mx или My равен 0 и выражение (5.26) принимает вид
, где
— осевой момент сопротивления,
– осевой момент инерции,
— расстояние по модулю до наиболее удалённой точки сечения от Ох.
При косом изгибе МХ , МУ .
Уравнение нейтральной линии, т.е. геометрического места точек, где нормальное напряжение принимает нулевые значения, находят, полагая в (5.26) = 0:
Откуда определяется:
(5.27)
Эпюра напряжений в поперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальные напряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии.
Расчёт на прочность при изгибе проводится при условиях:
материал работает одинаково на растяжение и сжатие, т.е.
Условие прочности: , где
,
, где
– допускаемое значение предела текучести,
— коэф. запаса.
если неодинаково, то работают два условия:
, где
,
Если расчёт проектировочный, то из двух коэффициентов выбирется наибольший. В поверочном – наоборот.
В целях безопасной работы напряжения должны быть ниже предельных значений для данного материала. Таким образом при поверочном расчёте (нахожд. Нормативного коэф. запаса):
, где
— предельное кас. напряжение материала,nТ – коэф. запаса,
за расчётный коэффициент принимают [n] > nТ, где [n] – нормативный (предписываемый нормами проектирования конструкций) коэф. запаса.
Источник
метод Верещагина
Определить перемещение точки К балки (см. рис.) при помощи интеграла Мора.
1) Составляем уравнение изгибающего момента от внешней силы MF.
2) Прикладываем в точке К единичную силу F = 1.
3) Записываем уравнение изгибающего момента от единичной силы .
Определить перемещение точки К балки по способу Верещагина.
2) Прикладываем в точке К единичную силу.
;
;
Определить углы поворота на опорах А и В для заданной балки (см. рис.).
Строим эпюры от заданной нагрузки и от единичных моментов, приложенных в сечениях А и В (см. рис.). Искомые перемещения определяем с помощью интегралов Мора
,
, которые вычисляем по правилу Верещагина.
C1 = 2/3, C2 = 1/3,
а затем и углы поворота на опорах А и В
Определить угол поворота сечения С для заданной балки (см. рис.).
Определяем опорные реакции RA=RB,
,
, RA = RB = qa.
Строим эпюры изгибающего момента от заданной нагрузки и от единичного момента, приложенного в сечении С, где ищется угол поворота. Интеграл Мора вычисляем по правилу Верещагина. Находим параметры эпюр
C2 = —C1 = -1/4,
а по ним и искомое перемещение
.
Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).
1. Построение эпюр изгибающих моментов.
Эпюра MF (рис. б)
ВЕ: ,
,
, RB + RE = F, RE = 0;
АВ: , RА = RВ = F;
,
.
Вычисляем моменты в характерных точках , MB = 0, MC = Fa и строим эпюру изгибающего момента от заданной нагрузки.
Эпюра (рис. в).
В сечении С, где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента, вычисляя сначала опорные реакции ВЕ —
,
,
= 2/3;
,
,
= 1/3, а затем моменты в характерных точках
,
,
.
2. Определение искомого прогиба. Воспользуемся правилом Верещагина и вычислим предварительно параметры эпюр и
:
,
.
Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).
Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С. Пользуясь правилом Верещагина, вычисляем параметры эпюр ,
.
Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).
1. Построение эпюр изгибающих моментов.
,
, RA = 2qa,
, RA + RD = 3qa, RD = qa.
Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С.
2. Определение перемещений. Для вычисления интеграла Мора воспользуемся формулой Симпсона, последовательно применяя ее к каждому из трех участков, на которые разбивается балка.
Участок АВ:
Участок ВС:
Участок СD:
.
Определить прогиб сечения А и угол поворота сечения Е для заданной балки (рис. а).
1. Построение эпюр изгибающих моментов.
Эпюра МF (рис. в). Определив опорные реакции
,
, RB = 19qa/8,
, RD = 13qa/8, строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента МF от заданной нагрузки.
Эпюра (рис. д). В сечении А, где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента.
Эпюра (рис. е). Эта эпюра строится от единичного момента, приложенного в сечении Е, где ищется угол поворота.
2. Определение перемещений. Прогиб сечения А находим, пользуясь правилом Верещагина. Эпюру МF на участках ВС и CD разбиваем на простые части (рис. г). Необходимые вычисления представляем в виде таблицы.
Источник