Научная электронная библиотека
Одна из важных задач сопротивления материалов состоит в создании теорий прочности, на основе которых можно проверить прочность элементов в сложном напряжённом состоянии, исходя из прочностных характеристик. Существует ряд теорий прочности; в каждом отдельном случае пользуются той из них, которая в наибольшей степени отвечает характеру нагружения и разрушения материала.
В каждой теории прочности используется определенная гипотеза прочности, которая представляет собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора.
Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.
Эквивалентное напряжение – напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию.
Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным линейным, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении:
.
Первая теория прочности (гипотеза наибольших нормальных напряжений).
Согласно этой теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по модулю главное напряжений достигает предельного значения для заданного материала при простом растяжении (сжатии). Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:
или 
Данная теория прочности дает положительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов.
Вторая теория прочности (гипотеза наибольших линейных деформаций).
Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:
Экспериментальная проверка данной гипотезы выявила ряд недостатков, поэтому она почти не применяется для расчетов.
Третья теория прочности (гипотеза наибольших касательных напряжений).
Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид
или 
.
Во многих случаях третья теория прочности дает приемлемые результаты.
Четвертая теория прочности (гипотеза энергии формоизменения).
Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает предельного для данного материала значения:
Пятая теория прочности (гипотеза прочности Мора).Данная гипотеза прочности учитывает различие в свойствах материалов при растяжении и сжатии. Условие прочности по гипотезе Мора имеет вид:
Источник
5. Теория прочности Мора
Рассмотренные выше теории, основанные на проверке прочности для пластичных материалов по величине касательных напряжений, не учитывают различие свойств материала при работе на растяжения и сжатие, т.е. для случаев, когда . Такое различие свойств материалов учитывается теорией, получившей имя немецкого ученого Мора. Эта теория, являясь дополнением к третьей теории прочности, имеет довольно громоздкий вид. Это связано с тем, что при ее получении напряженное состояние описывалось графическим образом с помощью так называемых кругов Мора.
Рассмотрим другой способ, основанный на обобщении теории наибольших касательных напряжений. В соответствии с этой теорией условие прочности имеет вид (10.19). Перепишем это уравнение следующим образом:
. (10.24)
Уравнение (10.24) в графическом смысле представляет собой прямую линию, где 
;
; при
; при
.
. (10.25)
Вид этой прямой приведен на рис.10.6,а.
Любая точка, принадлежащая плоскости , например, точка А, отвечает определенному напряженному состоянию. Прямая (10.25) делит эту плоскость на три зоны: зона предельных напряженных состояний – точки этой зоны лежат на предельной прямой линии (10.25); зона безопасных напряженных состяний точки этой зоны лежат выше и левее предельной прямой (внутренняя область); зона опасных напряженных состояний – точки этой зоны лежат правее и ниже предельной прямой (внешняя область). В точках этой области гарантировать прочность нельзя.
Таким образом, приведенный на рис.10.6,а график дает возможность оценить с помощью третьей теории прочность элемента по местонахождению точки, определяющей данное напряженное состояние ().
Используя аналогию, рассмотрим случай, когда 
. В этом случае точки предельной прямой, принадлежащие осям координат определяют следующие напряженные состояния:
;
.
Вид предельной прямой для этого случая приведен на рис.10.6,б. Опишем эту прямую.
Уравнение прямой в отрезках имеет вид:
. (10.26)
Здесь: ;;;.
Введем коэффициент , подставим в уравнение (10.26) и преобразуем его к виду:
. (10.27)
Уравнение (10.27) является уравнением предельной прямой. Левая часть этого уравнения представляет собой эквивалентные напряжения для рассматриваемого напряженного состояния. Вводя знак неравенства в уравнение предельной прямой (10.27), получаем теорию прочности Мора:
. (10.28)
Неравенство (10.28) описывает внутреннюю область безопасных напряжений (Рис.10.6,б).
Теория прочности Мора является обобщением теории наибольших касательных напряжений и будет ей идентичной при равенстве допускаемых напряжений 
. В этом случае коэффициент
.
Пятая теория (теория прочности Мора) прочности хорошо подтверждается опытом для большинства строительных материалов (камень, дерево, пластмассы), т.е. для тех материалов, которые не укладываются в сформулированные ранее классические теории прочности.
Подводя итог рассмотрению классических теорий прочности, можно написать условие прочности при объемном напряженном состоянии в таком виде:
, (10.29)
где 
эквивалентное (расчетное) напряжение;
допускаемое напряжение при простом растяжении и сжатии. Расчетное напряженное состояние
может быть истолковано как растягивающее напряжение при линейном напряженном состоянии, эквивалентном рассматриваемому сложному напряженному состоянию в отношении опасности для прочности материала.
Выбор теории прочности, а значит и формулы для , таким образом, отвечает на вопрос: какой критерий прочности материала столь же надежен для рассматриваемого объемного напряженного состояния, как и для линейного?
Что касается практического применения теорий прочности, то здесь следует иметь ввиду, что любой материал в зависимости от условий работы и вида напряженного состояния может находиться и в хрупком и в пластичном состоянии. В связи с этим следует выделить те теории прочности, пригодные для проверки прочности материала при его пластическом состоянии, и те, которые следует применять для проверки прочности материалов в хрупком состоянии. Эксперименты показывают, что для пластичного состояния матерала наиболее достоверной является энергетическая теория прочности. Незначительно расходится с опытами для пластичных материалов теория наибольших касательных напряжений.
Что касается хрупкого состояния материалов, то для оценки прочности в этом случае иногда используется вторая теория прочности теория наибольших линейных деформаций; имеются опыты, которые показывают, что в ряде случаев подтверждается для такого состояния материала и теория наибольших нормальных напряжений; ею пользуются на практике для проверки прочности таких материалов как камень, чугун и т.д.
Кроме классичесих теорий прочности, рассмотренных в данной теме, существует еще несколько десятков так называемых “новых”теорий, предлагающих новые подходы к оценке прочности конструкционных материалов. В рамках настоящего пособия эти теории не приводятся. Тех, кого эта проблема интересует, может обратиться к специальной литературе учебного или справочного характера, часть из которой приводится в конце пособия.
Все приведенные выше теории прочности были записаны через главные напряжения. В практике мы часто имеем дело не с главными напряжениями. В связи с этим при практических расчетах удобно иметь формулы для эквивалентных напряжений для различных теорий прочности, выраженные через нормальные и касательные напряжения, действующие в произвольных площадках.
Рассмотрим несколько частных случаев плоского напряженного состояния и запишем для этих случаев условия прочности в соответствии с различными теориями.
Одним из таких частных видов напряженного состояния приведен на рис.10.7. Этот вид напряженного состояния часто встречается в расчетной практике при плоском поперечном изгибе, некоторых видах сложного сопротивления и т.д.
При записи эквивалентных напряжений для приведенного на рис.10.7 частного вида напряженного состояния примем во внимание, что
. (10.30)
Подставляя (10.30) в выражение (10.17), условие прочности в соответствии с первой теорией прочности получим в виде:
. (10.31)
Для второй теории выражение для условия прочности после подстановки (10.30) в (10.18) принимает вид:
. (10.32)
Для третьей теории условие прочности после подстановки (10.30) в (10.19) запишется так:
. (10.33)
По четвертой теории условие прочности после подстаноки (10.30) в (10.23) и некоторых преобразований будет иметь вид:
. (10.34)
Как уже отмечалось выше, для оценки прочности пластичных материалов используют как теорию наибольших касательных напряжений, так и энергетическую теорию прочности. Выясним на примере рассматриваемого выше частного случая напряженного состояния, каково расхождение между этими теориями прочности. Для этого, используя выражения (10.33) и (10.34), вычислим значения эквивалентных напряжений при различных исходных значениях 
и
.
Пусть 
. Тогда
. При
;
. Сравнивая эти значения, приходим к выводу, что максимальное расхождение между третьей и четвертой теориями составляет 15%. В практических задачах при небольших значениях касательных напряжений это расхождение существенно меньше. Поэтому используют обе теории для оценки прочности материалов в пластическом состоянии.
Пример 10.1.Исследовать напряженное состяние в стенке стального сварного двутавра в месте перехода от полки к стенке (в точке А) и выполнить проверку прочности балки, используя четвертую теорию прочности. В рассматриваемом сечении балки изгибающий момент равен
кНм, поперечная сила
кН. Поперечное сечение балки приведено на рис.10.8а.
1. Найдем момент инерции двутавра относительной оси в (см 4 ).
см 4 .
2. Определяем нормальные напряжения в точке А:
МПа.
3. Определяем касательные напряжения в точке А поперчного сечения:
МПа.
4. Вычисляем эквивалентное напряжение в точке А, используя четвертую теорию прочности. Напряженное состояние в точке А – плоское (Рис.10.8,б). Для частного случая напряженного состояния, приведенного на рис.10.8,б эквивалентное напряжение по четвертой теории равно:
МПа.
5. Сравниваем расчетное напряжение с допускаемым для стали 
МПа, используя условие прочности (10.34). Расчетное напряжение
МПа оказалось меньше допускаемого. Следовательно, напряженное состояние в точке А поперечного сечения балки является безопасным.
Пример 10.2.Проверить прочность чугунной детали (работающей на сложное напряженное состояние), если главные напряжения в опасной точке сечения:
МПа;
;
МПа. Коэффициент Пуассона
.
Допускаемое напряжение на растяжение 
МПа, допускаемое напряжение на сжатие
МПа.
1. Для проверки прочности чугуна на растяжение следует применить теорию наибольших линейных деформаций:
МПа.
Полученное расчетное напряжение блитзко к допускаемому на растяжение.
2. Если бы мы воспользовались для расчета теорией наибольших касательных напряжений (неприменимой для хрупкого состояния материала), то получили бы ошибочные результаты:
МПа.
В этом случае расчетное напряжение оказывается близким к разрушающему напряжению.
Источник