Определение прогиба и угла поворота с помощью интеграла Мора с использованием правила Верещагина
Для определения прогиба балки в сечении 1, выбираем единичное состояние – освободив балку от заданной нагрузки, прикладываем в сечении 1 сосредоточенную силу =1, направленную вертикально вниз (рис.26 г).
Рис.26. Грузовая эпюра и эпюры от единичных силовых факторов
Определение опорных реакций.
Промежуточный шарнир позволяет составить дополнительное уравнение – сумма моментов всех сил, расположенных слева (справа) от шарнира равна нулю: R D = 0.
Остальные уравнения статики составляются для всей балки:
S Fx = 0: HA = 0.
S MA = 0: ;
S MB = 0: ; RA = .
Проверка S F z = 0? .
Значения изгибающих моментов.
Участок AE: ;
Участок BE: ;
Строим эпюру от единичного воздействия (рис.26 д). Прогиб балки в сечении 1 (v 1) вычислим с помощью интеграла Мора
Эпюру от заданной нагрузки МР на участке AE разбиваем на две простейшие эпюры ( ) – треугольник и симметричную параболу (рис.27).
Рис.27. Разбиение сложной эпюры на простые эпюры. Перемножение эпюр
Ординаты в эпюре под центрами тяжести соответственно равны ; , поэтому
Эпюру МР на участке BE разбиваем на два треугольника (рис.28).
Рис.28. Разбиение сложной эпюры на простые эпюры. Перемножение эпюр
Ординаты в эпюре под центрами тяжести соответственно равны ; , поэтому
Таким образом, прогиб в сечении 1 будет равен
Положительное значение прогиба показывает, что балка в сечении 1 перемещается вниз в направлении единичной силы.
Определение угла поворота в сечение 2
Сечение 2 совпадает с шарниром, поэтому будем определять взаимный угол поворота примыкающих к шарниру сечений. Выбираем единичное состояние – освободив балку от заданной нагрузки, прикладываем в сечение 2 (сечение C) единичные сосредоточенные моменты ( =1) слева и справа от шарнира, как показано на рис.26 е.
Определение опорных реакций.
Используя промежуточный шарнир, составляем дополнительное уравнение:
Остальные уравнения статики составляются для всей балки:
S Fx = 0: HA = 0.
S MA = 0: R B ·8+ R D ·14=0;
S MB = 0: – RA ·8+ R D ·6=0; RA = .
Проверка S F z = 0? RA + R B + RC =
Значения изгибающих моментов.
Участок AB: ;
Участок BC: ;
Участок CD: ;
Строим эпюру от единичного воздействия (рис.26 ж).
Взаимный угол поворота в сечении 2 вычислим с помощью интеграла Мора
Эпюру МР на участке AE разбиваем на – треугольник и симметричную параболу (рис.29).
Рис.29. Разбиение сложной эпюры на простые эпюры. Перемножение эпюр
Ординаты в эпюре под центрами тяжести соответственно равны ; ; поэтому
Эпюру от заданной нагрузки МР на участке BE разбиваем на два треугольника, эпюру от единичного момента также на два треугольника (рис.30).
Рис.30. Разбиение сложных эпюр на простые эпюры. Перемножение эпюр
Ординаты в эпюре под центрами тяжести соответственно равны ; ; ; ; поэтому
На участке BC эпюру от единичного момента разбиваем на два треугольника (рис.31).
Рис.31. Разбиение сложной эпюры на простые эпюры. Перемножение эпюр
Ординаты в эпюре под центром тяжести соответственно равны: ;; ; поэтому
На участке CD (рис.25) площадь эпюры: .
Ордината в эпюре под центром тяжести равна: ; поэтому .
Взаимный угол поворота в сечении 2
Положительное значение угла поворота показывает, что сечения слева и справа от шарнира С поворачиваются по направлению единичных моментов.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Источник
Вопрос 18.Определение перемещений при изгибе. Интеграл Мора. Метод Верещагина.
Прогиб – линейная деформация, смещение центра тяжести поперечного сечения.
Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление.
— перемещение сечения К под действием Р, где Mxp-изгибающий момент в произвольном сечении, 
х — единичный момент в том же сечении под действием единичной силы или единичного момента (если ищется угол поворота), EIx– жёсткость сечения балки при изгибе.
Правило Верещагина. Используется, когда жёсткость при изгибе постоянна вдоль длины. Эпюра изгибающих моментов должна быть линейной. Максимальный прогиб называется стрелой.
Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр применимы только при наличии двух условий:
1.Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI=Const),
2.Одна из двух эпюр моментов на этом участке (грузовая или единичная) должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.
Δкр= 
* ωp * k c — грузовое перемещение
ωp – площадь грузовой эпюры.
k c — ордината в единичном эпюре, соответствует центру тяжести грузовой.
При постоянной жесткости по длине балки EIz для определения прогиба энергетическим методом необходимо вычислять интеграл вида:
.
Допустим, что эпюры изгибающих моментов аналитически выражаются функциями Мz=f1(х), М ’ z´ = f2(х), причем одна из них, например, f1(х) произвольная, а другая f2(х) линейная функция и может быть записана в виде f2(х) = kх+b. Пусть графики этих функций имеют вид представленный на рис. 3.86.
В соответствии с принятыми обозначениями можно записать:
Первый интеграл представляет собой статический момент относительно оси x площади эпюры ограниченной кривой Mz, т.е.
, где
ω – площадь, ограниченная кривой Mz,
хc — координата центра тяжести фигуры ограниченной кривой Mz относительно оси х.
Второй интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой Mz, которую обозначили ω.
Таким образом, искомый интеграл равен произведению площади эпюры Mz на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры Мz´. Важно отметить, что вычисление перемещения способом Верещагина возможно только в том случае, когда, во-первых, эпюры Mz и Мz ´ на рассматриваемом участке не имеют изломов, во-вторых, одна из эпюр описывается линейной зависимостью и именно по ней определяется ордината под центром тяжести другой эпюры yc. Поэтому при вычислении способом Верещагина интеграл Мора по всей длине балки надо заменить суммой интегралов по участкам, в пределах которых эпюра моментов от единичной нагрузки не имеет изломов. Тогда перемещение сечения балки δ:
Таким образом, для вычисления прогибов по способу Верещагина необходимо:
1) построить эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок Mz (основная эпюра);
2) снять внешнюю нагрузку (но сохранить опоры) и приложить в том сечении, в котором определяется перемещение (угол поворота) единичную силу (единичный момент) в направлении искомого.перемещения (угла поворота);
3) построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки Мz ´(единичная эпюра);
4) разбить эпюры на участки, в пределах которых отсутствуют изломы эпюр, и для каждого участка вычислить площадь криволинейной эпюры ωi и ординаты эпюр ограниченных линейной функцией под центрами тяжести криволинейных эпюр уci.
5) составить произведения ωi уci и просуммировать:
Встречающиеся на практике эпюры изгибающих моментов разбивают на простейшие фигуры: прямоугольник, треугольник и параболический треугольник.
Площади этих фигур и координаты центров тяжести приведены в таблице
| Вид эпюры Mz | Площадь w | Координата центра тяжести xc |
 | ab / 2 | a / 3 |
 | ab / 3 | a/ 4 |
 | ab / 4 | a / 5 |
 | 2ab / 3 | a / 2 |
 | 2ab / 3 | 5a / 8 |
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Источник