Определение перемещений с помощью интеграла Мора
Определим, например, прогиб в точке С оси балки, нагруженной некоторой системой внешних поперечных сил и пар. Для упрощения промежуточных выкладок представим всю эту нагрузку одной сосредоточенной силой Р (рис. 8.27). Обозначим через δ PP прогиб балки в точке приложения силы Р , а через δ CP — искомый прогиб от этой силы в точке С.
При статическом приложении к балке сила Р произведет работу
Потенциальная энергия деформации для первого состояния балки, если пренебречь влиянием перерезывающих сил Q на прогибы, может быть подсчитана по формуле (8.22), т. е.
Составляя баланс энергий A = U , получаем
Поступим далее следующим образом. Снимем с балки всю заданную нагрузку и приложим статически в сечении С в направлении искомого прогиба вспомогательную силу, равную по величине единице измерения силы, например, 1Н. От этой единичной нагрузки в сечениях балки возникнут изгибающие моменты M z 1 , а точка C в процессе деформации балки пройдет путь δ C 1 (см. рис. 8.27). Баланс энергий во втором состоянии балки запишется так
Рассмотрим третье состояние, когда к балке, уже нагруженной вспомогательной единичной силой, прикладывается еще и заданная нагрузка Р (см. рис. 8.27). Эта нагрузка вызовет дополнительные деформации балки, причем согласно принципу независимости действия сил дополнительные прогибы будут такими же, как и в первом из рассмотренных состояний балки, когда она нагружена только силой Р . Поэтому работа внешних сил, если подсчитывать ее в последовательности их приложения,
У последнего слагаемого множитель 1/2 отсутствует потому, что к моменту приложения заданной нагрузки единичная сила достигла уже своего конечного значения и в процессе перемещения δ CP величины своей не изменяет (рис. 8.28).
Изгибающие моменты в сечениях балки в ее третьем состоянии равны суммам изгибающих моментов M z от заданных нагрузок и M z 1 от единичной силы, а потенциальная энергия деформации
Баланс энергий в третьем состоянии
Учитывая выражения для балансов энергий в первом и втором состояниях, получаем
Чтобы левая часть равенства представляла собой непосредственно искомый прогиб балки, нужно разделить обе части этого равенства на вспомогательную единичную силу или считать ее безразмерной. В обоих случаях получаем для определения прогибов балки выражение
где M z 1 имеет размерность длины.
Задача определения угла поворота сечения С приводит к тому же выражению (8.43). Отличие заключается в том, что в этом случае в сечении С надо прикладывать в направлении искомого углового перемещения единичный момент, а под δ CP понимать угол поворота сечения в радианах.
В выражении (8.43) интеграл должен быть распространен на всю длину балки. Если балка имеет п участков с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов M z ( x ) и M z 1 ( x ) , то в правой части будет стоять сумма интегралов по всем п участкам.
Итак, прогибы и углы поворотов сечений балок могут быть найдены из равенства, называемого интегралом Мора :
где M z ( x ) — изгибающий момент в текущем сечении балки от заданной нагрузки; M z 1 ( x ) — изгибающий момент в том же сечении от единичной силы, если ищется прогиб, и единичного момента, если ищется угол поворота сечения.
Для определения M z 1 ( x ) надо снять с балки заданную нагрузку (но не удалять опоры) и приложить в том сечении, перемещение которого ищется, в направлении этого перемещения единичную силу или пару. Моменты M z ( x ) и M z 1 ( x ) надо подставлять в интеграл Мора с их знаками. Положительный знак в окончательном выражении означает, что сечение перемещается по направлению приложенной единичной нагрузки, а отрицательный знак показывает, что перемещение происходит в противоположном направлении.
Источник
Метод мора
Метод Максвелла — Мора представляет собой универсальный способ для определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах.
При отыскании линейного перемещения к системе, освобожденной от заданных нагрузок, в направлении искомого перемещения (в заданной точке) прикладывается безразмерная единичная сила. Аналогично, при определении углового перемещения в сечении, поворот которого требуется найти, прикладывается пара сил (в плоскости искомого поворота) с моментом, равным безразмерной единице.
Строятся эпюры внутренних силовых факторов от заданной нагрузки и единичных воздействий.
Искомое перемещение определяется из выражения:
правую часть, которого называют интегралами Мора, где: 
искомое перемещение (линейное или угловое). Первый индекс указывает номер искомого перемещения 
второй индекс 
указывает причины, вызывающие деформации отдельных элементов системы и как следствие , перемещение 
(индекс 
указывает, что перемещение определяется от заданной нагрузки);
аналитические выражения продольной, поперечной сил и изгибающего момента соответственно от единичного и заданного воздействия (единичные и грузовые эпюры внутренних усилий);
жесткости поперечных сечений стержня соответственно на растяжение, сдвиг, изгиб;
коэффициент отражает неравномерность распределения касательных напряжений по поперечному сечению. Этот коэффициент зависит от формы сечения, например, для прямоугольника 
для круга 
Направление единичного воздействия выбирается произвольно. Полученный по формуле (2.1) положительный результат указывает на то, что направление искомого перемещения совпадает с принятым направлением единичного воздействия, либо противоположно принятому направлению, если получен отрицательный результат.
В формуле (2.1) каждый интеграл четко выражает вклад соответствующей деформации в искомое перемещение. Обычно учитываются лишь основные виды деформации. В конструкциях работающих на изгиб учитывается влияние изгибающих моментов, а поперечными силами пренебрегают.
В комбинированных системах, где часть стержней работает на растяжение-сжатие, а часть — на изгиб, учитываются обе эти деформации. В фермах, где каждый стержень работает на растяжение -сжатие в формуле (2.1) остается только первый интеграл.
В случаях, когда ось бруса прямолинейна и жесткость поперечного сечения в пределах отдельных участков постоянна, интегралы
Мора, входящие в выражение (2.1) целесообразно вычислять, используя правило Верещагина или формулу Симпсона.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Пример решения задачи 2.2.
Определить прогиб конца консольной балки (рис. 2.2,а), учитывая лишь деформации, изгиба, жесткость поперечного сечения балки постоянна.
Эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки показана на рис.
Построим единичную эпюру, для этой цели, сняв с балки заданную нагрузку, приложим к концу консоли (точка рис. 2.2 в),
вертикально направленную единичную силу , направление
единичной силы выбирается произвольно , например направим ее вниз, т.е. предполагаем , что точка переместится вниз по отношению продольной оси балки .
При заданном загружении (рис. 2.2,в), балка имеет один участок 
Единичный изгибающий момент для произвольного сечения 
участка будет равен 
Подставляя в полученное уравнение прямой координаты начала и конца участка, построим единичную эпюру изгибающих моментов (рис. 2.2, г ).
Для определения прогиба точки 
надо «перемножить» эпюры от заданной нагрузки и от единичной силы. Проделаем это. Балка имеет два участка, 
На участке 
интеграл Мора вычислим по способу Верещагина.
Перемещение положительно, так как обе сопрягаемые эпюры, лежат по одну сторону от базы ( продольной оси бруса ).
На участке 
грузовая эпюра нелинейная и заранее неизвестно, где находится ее центр тяжести, использовать правило Верещагина на этом участке затруднительно. Для вычисления интеграла Мора на участке 
воспользуемся формулой Симпсона. Применяя ее, найдем:
Прогиб сечения 
равняется сумме интегралов Мора на участках 
Знак плюс прогиба указывает на то, что сечение переместится по направлению единичной силы, т.е. вниз.
Пример решения задачи 2.3.
Определить угол поворота сечения двухопорной балки с консолью (рис. 2.3,а), учитывая лишь деформации изгиба, жесткость, балки постоянна.
Эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки построена ранее в примере, ее вид показан (рис. 2.3, б).
Построим единичную эпюру, для этой цели, сняв с балки заданую нагрузку, приложим в сечении 
единичный момент 
направление единичного момента выбираем произвольно, например по ходу часовой стрелки (рис. 2.3,в).
Балка имеет три участка. Сопряжение эпюр проведем по участкам. На первом участке (участок 
для вычисления угла поворота, используем формулу Симпсона, так как эпюра 
на участке интегрирования нелинейная:
На втором участке (участок обе эпюры изгибающих моментов линейны.
Поэтому интеграл Мора на этом участке можно вычислить по формуле трапеций. Применяя ее, найдем:
Полученные выражения отрицательны потому, что знаки ординат «перемножаемых» эпюр 
противоположны. На третьем участке (участок 
интеграл Мора вычислим способом Верещагина:
Получен отрицательный результат потому, что эпюры 
и 
лежат по разные сторону от базы ( продольной оси бруса ). Угол поворота сечения 
равняется сумме интегралов Мора на трех участках ( на участках 
Полученный знак минус указывает на то, что сечение поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента.
Пример решения задачи 3.1.
Для консольной рамы, рис. 3.1,а, определить вертикальное и горизонтальное перемещение точки 
а также угол поворота узла 
жесткости стержней 
Поскольку при определении перемещений в рамах используется интеграл Мора, содержащий изгибающие моменты, построение эпюр не обязательно.
Построим грузовую эпюру изгибающих моментов, её вид показан на рис. 3.1,6.
Для определения вертикального и горизонтального перемещение точки 
в это сечение приложим единичные силы 
и
построим единичные эпюры, их вид показан на рисунках
«Перемножим» грузовую и единичные эпюры в пределах длины каждого участка (стержня).
Вертикальное перемещение точки 
Горизонтальное перемещение точки
Анализируя, полученные выражения, устанавливаем, что точка перемещается вверх и влево.
Для определения угла поворота узла 
в этот узел приложим единичный момент 
и построим единичную эпюру изгибающих моментов, см. рис. 3.1,д.
«Перемножая» грузовую и единичную эпюры, определим угол поворота узла
Сечение поворачивается против хода часовой стрелки.
Пример решения задачи 3.2.
Для шарнирно опертой рамы со стержнями различной жесткости, рис. 3.2,а, определить горизонтальное перемещение точки 
и угол поворота сечения 
Определим опорные реакции от действия заданных нагрузок.
Строим грузовую эпюру изгибающих моментов (рис. 3.2,6).
Приложим в точке 
горизонтальную единичную силу 
а в сечение 
единичный момент 
и построим
единичные эпюры изгибающих моментов, см. рис. 3.2,в,г. «Перемножив» эти эпюры с грузовой эпюрой получим:
Точка 
перемещается вправо, а сечение 
поворачивается по ходу часовой стрелки.
На странице -> решение задач по сопротивлению материалов (сопромат) собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам сопротивления материалов.
- Заказать сопромат помощь в учёбе
- Помощь по сопромату онлайн
- Курсовая работа по сопромату заказать готовую онлайн
- РГР по сопромату расчетно графическая работа
- Контрольные по сопромату с решением онлайн
- Задачи на устойчивость по сопромату примеры и решения
- Двухопорная балка по сопромату задачи с примерами и решениями
- Решение статически неопределимых задач
- Метод сечений решение задач по сопромату
- Расчётная схема: определение и пример с решением
- Задачи на сжатие и растяжение по сопромату примеры и решения
- Задачи на кручение по сопромату примеры и решения
- Расчёт балки задачи по сопромату примеры и решения
- Задачи на эпюры по сопромату построение примеры и решения
- Задачи с двутавром по сопромату примеры и решения
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
В случае копирования материалов, указание web-ссылки на сайт natalibrilenova.ru обязательно.
© «Брильёнова Наталья Валерьевна»
Источник