Экстремальные задачи с производной
Совершенно верно, иногда от таких задач действительно захватывает дух. Сегодня на уроке мы разберём ещё одно важное приложение производной, имеющее самое что ни на есть прикладное значение! Речь пойдёт о задачах с конкретным геометрическим, физическим, экономическим и т.д. содержанием, в которых исходя из условия, нужно самостоятельно составить функцию и найти её точку минимума либо максимума (и/или, соответственно, минимум либо максимум).
Для полноценного изучения урока необходимо уметь находить производные, ПОНИМАТЬ, что такое производная и быть знакомым с понятиями возрастания, убывания и экстремума функции. Таким образом, начинающим рекомендую начать с вышеуказанных статей, чтобы не словить здесь реальный экстрим =) А уже заматеревшие студенты не должны испытать особых трудностей. Разминочная алгебраическая задача и новый материал по ходу решения:
Известно, что сумма двух положительных чисел равна 12. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение их квадратов было максимальным?
Решение: прежде всего, хорошо осознаем, что от нас требуется: в условии фигурируют два положительных числа, причём ни то, ни другое мы не знаем. Но вот их сумма равна 12.
Если это, например, 2 и 10, то произведение квадратов ;
если 7 и 5, то и т.д.
И нам нужно отыскать такую пару, для которой данное произведение будет наибольшим. Понятно, что с методом подбора тут замучаешься, к тому же искомые числа ведь могут оказаться и дробными. Поэтому привлечём на помощь могучий аппарат математического анализа.
Но сначала вспомним школу и вспомним, как, наивно хлопая ресницами, мы что-то обозначали за «икс»…. Обозначим за одно из чисел. Тогда второе число будет равно:
Проверим, что их сумма действительно равна 12:
– а ведь и правду говорят, что всё гениальное просто =)
Теперь составим функцию произведения их квадратов:
Многие читатели уже понимают последующие шаги: далее нужно найти производную, критические точки и обнаружить точку (и), в которой функция достигает максимума (если таковые, конечно, вообще существуют).
И небольшой вопрос техники: производную здесь можно найти несколькими способами. На мой взгляд, удобен следующий вариант: загоняем множители под единую степень и раскрываем там скобки: , после чего дифференцируем сложную функцию:
Итак, – критические точки.
По условию оба числа положительны, поэтому значения сразу исключаем из рассмотрения. Осталось проверить достаточное условие экстремума для точки
и выяснить, достигает ли там функция
минимума либо максимума. А может статься, и ничего не достигает.
Проверка вам хорошо знакома: чертим числовую ось, выясняем знаки производной слева и справа от точки и выносим вердикт. Так решать можно, и это будет правильным решением, но есть и другой путь!
Второе достаточное условие экстремума
Пусть производная функции равна нулю в критической точке
:
и пусть там существует вторая ненулевая производная:
. Тогда:
если , то функция
достигает минимума в точке
;
если , то – максимума.
В нашем случае нужно найти вторую производную и вычислить – если окажется, что
, то
является точкой минимума; если же
– то точкой максимума.
Для удобства дифференцирования утрамбуем предшественницу:
и незамедлительно оценим это удобство:
Подставим критическое значение :
, значит, функция
достигает максимума в данной точке:
Ответ: искомые числа: 6 и 6, при этом максимальное произведение квадратов:
Вообще говоря, по условию не требовалось находить само произведение, но по правилам хорошо тона его лучше рассчитать и указать в ответе. К тому же это весьма любопытно.
На практике в подавляющем большинстве случаев встречаются задачи с геометрическим смыслом, и поэтому основная часть урока будет посвящена именно им. Начнём с несложного типового примера, который почему-то довольно часто вызывает проблемы:
Найти наименьшее расстояние между параболой и прямой
Решение: вот, пожалуйста, самый что ни на есть практический смысл – представьте, что вам нужно пройти от дороги к дороге. Совершенно понятно, что в отсутствии препятствий это наиболее выгодно осуществить по кратчайшему пути.
Поскольку условие запрашивает наименьшее расстояние, то, очевидно, нам нужно составить функцию расстояния между параболой
и прямой
. За аргумент этой функции принимаем абсциссу точки
, которая принадлежит параболе и «свободно перемещается по ней»:
Используем формулу расстояния от точки до прямой
:
В нашем случае (т.е.
);
.
Таким образом:
– функция расстояния между параболой и прямой, зависящая от абсциссы точки параболы.
Дифференцируем по обычным правилам, невзирая на модуль:
– критическая точка
Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Оцените, насколько второе достаточное условие приятнее и удобнее 1-го:
для всех «икс». В частности:
, следовательно, функция
достигает минимума в точке
:
Искомая «дорога» изображена малиновым отрезком на чертеже.
Ответ:
Физики в лирике могут найти ординату точки , уравнение нормали
и её точку пересечения с прямой
. Кстати, почему кратчайший путь проходит именно по нормали? Приложите ребро ладони к прямой
и начните плавно сдвигать его к параболе: первая точка, которой вы коснётесь – будет в точности точка
, ваша рука займёт положение касательной к графику функции
в данной точке, а расстояние между двумя прямыми как раз и определится малиновым отрезком нормальной прямой.
Следующая задача для самостоятельного решения:
Из куска проволоки длиной 30 см требуется согнуть прямоугольник наибольшей площади. Каковы размеры этого прямоугольника?
Давайте немного проанализируем условие:
Что требуется найти? Очевидно, длину и ширину – это «традиционные» характеристики, определяющие прямоугольник.
Какую функцию нужно составить? Наверное, многие уже поняли данную закономерность:
Требуется найти минимальную/максимальную площадь? Составляем функцию площади;
Минимальную/максимальную диагональ? Составляем функцию длины диагонали;
Минимальный/максимальный периметр? Составляем функцию периметра
и т.д.
Напоминаю, что периметр – это длина границы фигуры, в данном случае – сумма длин сторон прямоугольника. Кстати, задачу легко переформулировать «чисто математически»:
«Найти прямоугольник максимальной площади, если его периметр равен 30 см»
Выполните схематический чертёж, подумайте, что обозначить за «икс» (впрочем, чего тут думать), составьте функцию площади – и дальше по накатанной.
Краткое решение и ответ в конце урока.
После простых разогревающих заданий рассмотрим что-нибудь поосновательнее:
На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с промежутками между строк) 192 . Верхнее и нижнее поля занимают по 4 см, левое и правое – по 3 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
Решение: разруливаем задачу по той же логической схеме:
Что требуется найти? Наиболее выгодные размеры страницы. А страница обычно имеет форму прямоугольника. Коль скоро речь идёт об экономии бумаги, то, очевидно, нужно найти такую ширину и высоту листа, чтобы его площадь была минимальна. Из чего следует, что нам необходимо составить функцию площади страницы. Причём условие жёстко задаёт размеры полей, а вот под область печати отведено 192 и её размеры могут быть произвольными (заштрихованный прямоугольник на схематическом чертеже):
Обозначим за ширину области печати (малиновый отрезок) (можно обозначить высоту – получится равноценное решение). Тогда высота области печати:
(красный отрезок).
Учитывая известные значения полей, найдём ширину всего листа:
И его высоту:
Составим функцию площади листа и сразу подготовим её для дифференцирования:
Найдём критические точки:
Точка не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи, а вот значение
куда более интересно.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
(считать тут совсем не обязательно), значит, функция
достигает минимума в точке
.
Таким образом, размеры оптимального листа: ;
;
при этом минимальная площадь:
Ответ: ширина оптимальной страницы: , её высота:
; при этом минимальная площадь:
Как видите, основная трудность состоит в том, чтобы разобраться в условии и составить нужную функцию. И в преодолении этой трудности здОрово помогает чертёж. Поэтому всегда стараемся выполнить схематический чертёж или хотя бы рисунок. Даже в таких простых случаях, как в Задаче №3, не говоря уже о только что разобранном примере.
Следующее задание для самостоятельного решения:
В полукруг радиуса вписать прямоугольник наибольшего периметра
Просто и со вкусом. И снова несколько подсказок, которые полезно иметь в виду и при решении других задач:
! Во-первых, обратите внимание, что условие сформулировано в общем виде и величина считается известной. Если совсем тяжко, решите задачу с каким-нибудь конкретным значением радиуса, например, с радиусом
.
! Во-вторых, выполните схематический чертёж, который здесь очень прост: одна из сторон прямоугольника лежит на диаметре полукруга, а вершины противоположной стороны – на полуокружности. Очевидно, что в полукруг можно вписать бесконечно много прямоугольников и ваша задача найти такой, периметр которого максимален. Какую функцию нужно составлять, надеюсь, всем понятно. Подумайте, что удобнее обозначить за «икс» и, кроме того, освежите в памяти теорему Пифагора.
! В-третьих, задачу можно решить в разных стилях. Образец решения оформлен «исключительно геометрически», однако есть и такой вариант: начертить полукруг в декартовой системе координат – в верхней полуплоскости центром в точке . Далее составить уравнение окружности, выразить функцию верхней полуокружности и рассмотреть переменные координаты вершины прямоугольника, которая на этой полуокружности лежит. Более того, ввиду симметрии фигур относительно оси
задачу можно решить в 1-й координатной четверти, т.е. изобразить лишь четвертинку круга (но затем не забыть удвоить одну из сторон прямоугольника). Кому как удобнее.
! И, в-четвёртых, эта задача о том, что иногда совсем не обязательно «разбивать лоб» о новый материал 😉 Если вам показался слишком сложным 2-й достаточный признак экстремума, то никто ведь не запрещает использовать 1-й достаточный признак – определите знаки первой производной слева и справа от критической точки на промежутке
и сделайте вывод.
Наш урок в самом разгаре и настало время разобрать задачи, которые встречались в моей практике без преувеличения десятки раз:
Определите размеры открытого бассейна объемом , имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, на облицовку стен и дна которого уйдет наименьшее количество материала.
Решение: представили бассейн. Квадратное дно. Стены. Размеры бассейна однозначно определяются его длиной и шириной, которые в данном случае совпадают (по условию дно квадратное) и глубиной (высотой стенки). Требуется найти такие размеры бассейна, чтобы на облицовку его поверхности ушло наименьшее количество материала (например, плитки). Из чего следует, что нам нужно составить функцию суммарной площади дна и 4 стен. Изобразим на чертеже развёртку бассейна – его дно и 4 стенки, которые аккуратно лежат рядышком:
За «икс» здесь, конечно же, напрашивается обозначить сторону квадрата. Тогда площадь дна равна . Осталось выразить
– высоту стены и найти её площадь
.
По условию, объём бассейна равняется 32 кубическим метрам. Даже не вспоминая и не разыскивая соответствующую формулу, нетрудно сообразить, что объём прямоугольного параллелепипеда – это произведение площади его «дна» на высоту:
В нашем случае: .
Составим функцию суммарной площади дна и четырёх одинаковых стен бассейна:
Найдем критические точки:
– критическая точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
, значит, функция
достигает минимума в точке
.
Таким образом:
сторона оптимального бассейна ;
глубина ;
при этом минимальная площадь облицовки: .
Ответ: сторона оптимального бассейна: 4 м, глубина: 2 м; при этом минимальная площадь облицовки .
Кстати, это решение совсем не очевидно – так, например, на оптимальный вариант с успехом претендует «лягушатник» размером глубиной 1 метр, и «на глазок» очень трудно определить, что выгоднее – ведь площадь облицовки последнего лишь ненамного больше:
. И да – надо отдать должное авторам задач за реалистичность, а то не так уж и редко получаются забавные результаты а-ля бассейн
глубиной 32 метра, что называется, купайтесь и не квакайте =)
Аналогичная задача про суровые челябинские шпроты:
Каковы должны быть размеры консервной банки цилиндрической формы, чтобы на её изготовление пошло наименьшее количество материала, если объем банки 0,5 литра?
Но перед тем как решать, пожалуйста, ознакомьтесь с парой полезных замечаний:
Во-первых, литр – это единица объёма. Я специально заострил внимание на физике, поскольку на обывательском уровне литр очень часто неверно отождествляют с килограммом (единицей массы). Ощутите разницу – пол-литровая банка кильки и та же банка, наполненная гвоздями. Один литр равен одному кубическому дециметру или тысяче кубических сантиметров:
А теперь очень важный момент: так как размеры банки, очевидно, выразятся в сантиметрах, то 0,5 литра следует сразу перевести в кубические сантиметры!
К слову, что это за размеры? Цилиндр стандартно определяется радиусом основания и высотой
. Во-вторых. Освежим в памяти формулы:
площадь круга:
площадь боковой поверхности цилиндра:
объём цилиндра:
И в который раз остановлюсь на важном принципе эффективного изучения математики: не зубрите формулы (без крайней необходимости, конечно). В частности, позабытую площадь боковой поверхности цилиндра несложно вывести даже в уме: представьте стенку консервной банки без дна и крышки. Сделайте вертикальный разрез и расправьте боковину на столе. В результате получился прямоугольник, одна из сторон которого, понятно, равна высоте банки , а другая – длине окружности
. Площадь же прямоугольника рассчитывается элементарно:
Решение проводится по аналогии с Задачей 6, примерный образец в конце урока.
Закрепим типовик своего рода обратными задачами:
Определить наибольшую вместимость цилиндрического бака, если его площадь поверхности (без крышки) должна равняться
Решение: в данном случае всё наоборот – известна площадь поверхности (если трудно, замените
конкретным числом) и требуется определить максимальный объём
бака.
За «икс» обозначим… а зачем, собственно, лишние буквы? Ещё с первых уроков о производной многие поняли, что дифференцировать можно по любой переменной, и сейчас мы окончательно избавимся ото всех комплексов.
От какой переменной искать функцию объёма? В соответствующей формуле наиболее «наворочен» радиус, поэтому логично попытаться составить функцию , зависящую именно от него. Нужно только выразить высоту
.
Сумма площадей дна (не забываем, что крышка отсутствует!) и боковой поверхности в точности равна известному значению: , откуда находим:
Таким образом:
Найдём критические точки:
Геометрическому смыслу задачи, разумеется, удовлетворяет положительный корень . Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
, значит, функция
достигает максимума в точке
.
При этом высота бака:
максимальный объём:
Ответ: радиус основания оптимального бака: , высота:
, при этом максимальный объём:
Решение в общем виде, бывает, кажется непривычным, однако оцените его универсальность – теперь достаточно лишь подставить конкретное значение площади и сразу рассчитать размеры оптимального цилиндра.
Успокоительное задание для самостоятельного решения:
Прямоугольный лист картона имеет размеры . Требуется вырезать по его углам такие квадраты, чтобы после загибания оставшихся кромок получилась коробка наибольшей вместимости.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Помимо рассмотренных выше геометрических объектов, на практике также можно встретить треугольники, трапеции, шары, конусы и т.д., но это более редкие гости (что касаемо забытых формул – справочники в помощь). К сожалению, нельзя объять необяътное, и поэтому в рамках этой статьи я ограничился самыми распространёнными примерами. И действительно, задач ведь придумать можно очень много – и всех их не перерешаешь, главное, чтобы вы хорошо поняли принципы и методы решения, которые я постарался изложить максимально пОлно и качественно.
Кроме того, существуют экстремальные задачи физического, химического, экономического и др. содержания, однако по причине отсутствия таковых в моей коллекции кот даже и не плакал. Но, понимая, что такое производная и обладая элементарной техникой дифференцирования, вы не должны испытать серьёзных затруднений с этими задачами, хотя для их решения, конечно, нужно разобраться и в самой физике/химии/экономике или иной предметной области.
Решения и ответы:
Пример 3: Решение: найдем полупериметр прямоугольника: . Обозначим через
длину стороны прямоугольника (любую). Тогда
– длина смежной стороны:
Составим функцию площади прямоугольника: .
Найдем критические точки:
– критическая точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума. , значит, функция
достигает максимума в точке
.
Таким образом – оптимальная длина стороны прямоугольника, длина смежной стороны:
; при этом максимальная площадь:
Ответ: оптимальный прямоугольник представляет собой квадрат со стороной ; при этом максимальная площадь:
.
Пример 5: Решение: выполним чертёж:
Пусть (как вариант, за «икс» можно обозначить
или даже
).
Рассмотрим прямоугольный . По теореме Пифагора:
Составим функцию периметра прямоугольника:
Найдём критические точки: Решим простейшее иррациональное уравнение:
Уравнению удовлетворяет корень
(корень же
появился в результате возведения обеих частей в квадрат и является посторонним).
Проверим выполнение достаточного условия экстремума.
Способ первый: определим знаки производной:
Примечание: используем стандартный метод интервалов: в производную подставляем какое-нибудь значение, лежащее левее точки
, например,
и подставляем какое-нибудь значение из правого интервала – проще всего взять
.
Вывод: функция достигает максимума в точке
.
Способ второй:
, значит, функция
достигает максимума в точке
.
Таким образом, размеры оптимального прямоугольника:
При этом максимальный периметр:
Ответ: оптимальный прямоугольник имеет размеры , при этом максимальный периметр:
Пример 7: Решение: составим функцию площади полной поверхности цилиндра , зависящую от его радиуса. Пусть
– радиус дна (и крышки) консервной банки:
Тогда площадь дна: . Столько же и площадь крышки.
По условию объём консервной банки равен :
Выразим через площадь боковой поверхности банки:
Площадь полной поверхности банки равна сумме площадей дна, крышки и боковой поверхности:
Найдём критические точки:
– критическая точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
, значит, функция
достигает минимума в точке
.
Высота оптимальной банки:
Ответ: радиус основания оптимальной банки: , её высота:
Пример 9: Решение: пусть – сторона вырезаемых по углам квадратов (высота будущей коробки). Тогда смежные стороны дна коробки составят
и
:
Составим функцию объёма коробки:
Найдём критические точки:
Решим квадратное уравнение:
– критические точки. Второе значение не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи, поскольку суммарная длина отреза сверху и снизу
(ширины листа).
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
, значит, функция
достигает максимума в точке
.
Ответ: размеры оптимальной коробки:
– высота (сторона вырезаемых по углам квадратов);
– длина;
– ширина;
при этом максимальный объем: .
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Источник