- 4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22) Условие задачи
- Решение
- метод Верещагина
- Определение прогибов и углов поворотов методом Мора
- Получение формулы интеграла Мора
- порядок вычисления перемещений методом Мора:
- Вычисление интеграла Мора пример
- определение прогиба с помощью интеграла Мора
- Определение угла поворота методом Мора
4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22) Условие задачи
Для рамы, показанной на рис. 4.26, найдем вертикальное перемещение точки В и угол поворота сечения А. Жесткость стержней рамы будем считать одинаковой (). Перемещения ищем методом Максвелла – Мора, интегрируя формулу Максвелла – Мора аналитически и графически (с помощью правила Верещагина).
Решение
Рис. 4.29. Рама под действием единичной обобщенной силы:
а – соответствующей ; б – соответствующей
Будем искать первое обобщенное перемещение – вертикальное перемещение точки В. В соответствии с методом Максвелла – Мора для определения этого перемещения приложим в точке В единичную вертикальную сосредоточенную силу (рис. 4.29, а) и найдем изгибающий момент, вызванный этой нагрузкой (координаты ,
,
должны отсчитываться так же, как при определении момента от заданной нагрузки):
участок 1: м;
;
участок 2: м;
;
участок 3: м;
.
Аналогично для определения второго обобщенного перемещения – угла поворота сечения А – приложим в точке А сосредоточенную пару сил, равную единице (рис. 4.29, б), и определим изгибающий момент от этой пары:
участок 1: м;
;
участок 2: м;
;
участок 3: м;
.
Вариант 1. Аналитическое интегрирование формулы
Подставим в формулу Максвелла – Мора (4.21) выражения для изгибающих моментов от заданной нагрузки, найденные ранее при определении внутренних усилий в рассматриваемой раме, умножим их на выражения для изгибающих моментов от единичных обобщенных сил на всех трех участках и выполним интегрирование. Тогда, учтя, что , проинтегрируем формулу (4.21):
250 кН·м 3 ;
–63,3 кН·м 2 .
В соответствии с правилом знаков метода Максвелла – Мора положительный знак вертикального перемещения говорит о том, что точка В перемещается по направлению обобщенной силы, то есть вверх. Сечение А поворачивается по часовой стрелке (в сторону, противоположную направлению единичной пары сил, так как знак угла поворота отрицательный).
Вариант 2. Интегрирование формулы Максвелла – Мора с помощью правила Верещагина
Рис. 4.30. Эпюры моментов: а – от заданной нагрузки;
б – от единичной обобщенной силы, соответствующей ;
в – от единичной обобщенной силы, соответствующей
Построим эпюры моментов от заданной нагрузки М и от единичных обобщенных сил, соответствующих искомым перемещениям, М1 и М2 (рис. 4.30). Для перемножения эпюр разобьем эпюру М на 4 простые фигуры: два треугольника 1 и 3, сегмент 2 и трапецию 4. Найдем ординаты под центрами тяжести этих фигур на эпюре М1 (1, 2 и 3 на рис. 4.30, б). Эпюру М на ригеле, имеющую форму трапеции 4 с основаниями разного знака, умножаем на трапецию эпюры М1 по правилу трапеций (4.24). Согласно правилу Верещагина
кН·м 3 .
Аналогично находим угол поворота сечения А, перемножая эпюры М и М2. Ординаты под центрами тяжести площадей 1, 2 и 3 показаны на рис. 4.30, в (1, 2 и 3). Для перемножения трапеции 4 на прямоугольник эпюры М2 нет необходимости пользоваться правилом трапеций, так как, где бы ни находился центр тяжести трапеции, значение 4 известно (ординаты на эпюре М2 на этом участке постоянны).
Рис. 4.31. Изогнутая ось рамы
кН·м 2 .
Результаты, полученные по двум вариантам использования формулы Максвелла – Мора, совпадают.
В заключение построим деформированную ось рамы так, чтобы она удовлетворяла эпюре изгибающих моментов и условиям закрепления рамы (рис. 4.31). На рис. 4.31 показаны полученные перемещения –,
в соответствии с их направлениями. Точка перегиба (крестик) изогнутой оси ригеля имеет место в сечении, где меняет знак изгибающий момент. Углы рамы в процессе деформации не меняются. 11
Источник
метод Верещагина
Определить перемещение точки К балки (см. рис.) при помощи интеграла Мора.
1) Составляем уравнение изгибающего момента от внешней силы MF.
2) Прикладываем в точке К единичную силу F = 1.
3) Записываем уравнение изгибающего момента от единичной силы .
Определить перемещение точки К балки по способу Верещагина.
2) Прикладываем в точке К единичную силу.
;
;
Определить углы поворота на опорах А и В для заданной балки (см. рис.).
Строим эпюры от заданной нагрузки и от единичных моментов, приложенных в сечениях А и В (см. рис.). Искомые перемещения определяем с помощью интегралов Мора
,
, которые вычисляем по правилу Верещагина.
C1 = 2/3, C2 = 1/3,
а затем и углы поворота на опорах А и В
Определить угол поворота сечения С для заданной балки (см. рис.).
Определяем опорные реакции RA=RB,
,
, RA = RB = qa.
Строим эпюры изгибающего момента от заданной нагрузки и от единичного момента, приложенного в сечении С, где ищется угол поворота. Интеграл Мора вычисляем по правилу Верещагина. Находим параметры эпюр
C2 = —C1 = -1/4,
а по ним и искомое перемещение
.
Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).
1. Построение эпюр изгибающих моментов.
Эпюра MF (рис. б)
ВЕ: ,
,
, RB + RE = F, RE = 0;
АВ: , RА = RВ = F;
,
.
Вычисляем моменты в характерных точках , MB = 0, MC = Fa и строим эпюру изгибающего момента от заданной нагрузки.
Эпюра (рис. в).
В сечении С, где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента, вычисляя сначала опорные реакции ВЕ —
,
,
= 2/3;
,
,
= 1/3, а затем моменты в характерных точках
,
,
.
2. Определение искомого прогиба. Воспользуемся правилом Верещагина и вычислим предварительно параметры эпюр и
:
,
.
Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).
Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С. Пользуясь правилом Верещагина, вычисляем параметры эпюр ,
.
Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).
1. Построение эпюр изгибающих моментов.
,
, RA = 2qa,
, RA + RD = 3qa, RD = qa.
Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С.
2. Определение перемещений. Для вычисления интеграла Мора воспользуемся формулой Симпсона, последовательно применяя ее к каждому из трех участков, на которые разбивается балка.
Участок АВ:
Участок ВС:
Участок СD:
.
Определить прогиб сечения А и угол поворота сечения Е для заданной балки (рис. а).
1. Построение эпюр изгибающих моментов.
Эпюра МF (рис. в). Определив опорные реакции
,
, RB = 19qa/8,
, RD = 13qa/8, строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента МF от заданной нагрузки.
Эпюра (рис. д). В сечении А, где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента.
Эпюра (рис. е). Эта эпюра строится от единичного момента, приложенного в сечении Е, где ищется угол поворота.
2. Определение перемещений. Прогиб сечения А находим, пользуясь правилом Верещагина. Эпюру МF на участках ВС и CD разбиваем на простые части (рис. г). Необходимые вычисления представляем в виде таблицы.
Источник
Определение прогибов и углов поворотов методом Мора
Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.
Получение формулы интеграла Мора
Рассмотрим балку, изображенную на рис. 15.6, а. Обозначим и
, соответственно, изгибающий момент и поперечную силу, возникающие в заданной балке от действующей на нее группы нагрузок P. Пусть требуется определить прогиб балки (
) в точке K.
Введем в рассмотрение вспомогательную балку (та же балка, но нагруженная только единичной силой либо единичным изгибающим моментом). Нагрузим ее только одной силой (рис. 15.6, б). Единичную силу приложим в точке K, где нужно определить прогиб.
Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной балке, обозначим и
.
Воспользуемся теперь теоремой о взаимности работ, согласно которой работа внешних сил, приложенных к вспомогательной балке на соответствующих перемещениях заданной балки равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил заданной балки на соответствующих перемещениях вспомогательной балки. Тогда .
При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием поперечной силы, ( не учитывать второе слагаемое).
Тогда, учитывая, что , окончательно получим формулу интеграла Мора :
.
Определение перемещений по формуле интеграла Мора часто называют определением перемещений методом Мора , а саму формулу – интегралом Мора .
Входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z.
Заметим, что если мы хотим в этой же точке K определить угол поворота поперечного сечения (), то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, а единичный момент
(рис. 15.6, в).
порядок вычисления перемещений методом Мора:
· к вспомогательной балке в той точке, где требуется определить перемещение, прикладываем единичное усилие. При определении прогиба прикладываем единичную силу , а при определении угла поворота – единичный момент
;
· для каждого участка балки составляем выражения для изгибающих моментов заданной () и вспомогательной (
) балок;
· вычисляем интеграл Мора для всей балки по соответствующим участкам;
· если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного усилия. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия.
Вычисление интеграла Мора пример
Пусть для шарнирно опертой балки постоянной изгибной жесткости , длиной l, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 15.7, а), требуется определить прогиб посредине пролета (
) и угол поворота на левой опоре (
).
определение прогиба с помощью интеграла Мора
В том месте, где нам нужно определить прогиб, к вспомогательной балке прикладываем единичную силу (рис. 15.7, б).
Записываем выражения для изгибающих моментов для каждого из двух участков (
) заданной и вспомогательной балок:
.
.
Вычисляем интеграл Мора . Учитывая симметрию балки, получим:
.
Определение угла поворота методом Мора
Нагружаем вспомогательную балку единичным моментом , прикладывая его в том месте, где мы ищем угол поворота (рис. 15.7, в).
Записываем выражения для изгибающих моментов в заданной и вспомогательной балках только для одного участка ():
;
.
Тогда интеграл Мора будет иметь вид:
.
Положительный знак в выражении для угла поворота поперечного сечения балки указывает на то, что поворот сечения происходит по направлению единичного момента .
Источник