Один насос может наполнить бассейн на 24 часа быстрее, чем другой
Формулировка задания: Один насос может наполнить бассейн на 24 часа быстрее, чем другой. Через 8 часов после того, как был включен второй насос, включили первый, и через 20 часов совместной работы оказалось, что заполнено 2/3 бассейна. За сколько часов может наполнить бассейн каждый насос, работая самостоятельно?
Пусть первый насос наполняет бассейн за x часов, тогда второй насос наполняет бассейн за x + 24 часов. Тогда за 1 час первый насос заполнит 1/x часть бассейна, а второй – 1/(x + 24) часть бассейна. По условию задачи сначала 8 часов работал второй насос, а потом еще 20 часов работали оба насоса вместе. После этого оказалось, что заполнено 2/3 бассейна.
Составляем уравнение и решаем его:
8 ⋅ 1/(x + 24) + 20 ⋅ (1/x + 1/(x + 24)) = 2/3
8/(x + 24) + 20/x + 20/(x + 24) = 2/3
28/(x + 24) + 20/x = 2/3
Приведем 2 дроби к общему знаменателю:
(28 ⋅ x)/(x ⋅ (x + 24)) + (20 ⋅ (x + 24))/(x ⋅ (x + 24)) = 2/3
(28x + 20x + 20 ⋅ 24)/(x ⋅ (x + 24)) = 2/3
(48x + 480)/(x ⋅ (x + 24)) = 2/3
3 ⋅ (48x + 480) = 2 ⋅ x ⋅ (x + 24)
144x + 1440 = 2x 2 + 48x
2x 2 + 48x – 144x – 1440 = 0
2x 2 – 96x – 1440 = 0
Получили квадратное уравнение, которое нужно решить:
x 2 – 48x – 720 = 0
a = 1, b = –48, c = –720
D = (–48) 2 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–720) = 5184 = 72 2
x1 = (48 + 72) / 2 = 60
x2 = (48 – 72) / 2 = –12 Ответ: 60 и 84
Поделитесь статьей с одноклассниками «Один насос может наполнить бассейн на 24 часа быстрее, чем другой – решение и ответ».
Есть другой способ решения?
Предложите другой способ решения задачи «Один насос может наполнить бассейн на 24 часа быстрее, чем другой». Возможно, он окажется более понятным для кого-нибудь:
Источник
Один насос набирает бассейн за
Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим 
и 
— скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут:
По условию задачи одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов, то есть 
Таким образом,
Тем самым, вторая труба за час наполняет 1/9 бассейна, значит, вторая труба наполняет этот бассейн за 9 часов.
Приведем другое решение.
Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов.
Источник
Один насос набирает бассейн за
Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Наименьшее общее кратное чисел 9, 14 и 18 равно 126. За 126 минут первый и второй, второй и третий, первый и третий насосы (каждый учтен дважды) заполнят 14 + 9 + 7 = 30 бассейнов. Следовательно, работая одновременно, первый, второй и третий насосы заполняют 15 бассейнов за 126 минут, а значит, 1 бассейн за 8,4 минуты.
Приведём другое решение.
За одну минуту первый и второй насосы заполнят 1/9 бассейна, второй и третий — 1/14 бассейна, а первый и третий — 1/18 бассейна. Работая вместе, за одну минуту два первых, два вторых и два третьих насоса заполнят
бассейна.
Тем самым, они могли бы заполнить бассейн за 21/5 минуты или за 4,2 минуты. Поскольку каждый из насосов был учтен два раза, в реальности первый, второй и третий насосы, работая вместе, могут заполнить бассейн за 8,4 минуты.
Приведем алгебраическое решение Тимура Алиева.
Пусть x — производительность первого насоса, y — производительность второго насоса, z — производительность третьего насоса. Тогда
Сложив уравнения, получим 
Тогда при совместной работе всех трех насосов время заполнения бассейна составит 
минуты.
Источник