math4school.ru
Никколо Тарталья
ок. 1499–1557
… У меня не было другого наставника, кроме спутника бедности – предприимчивости.
Никколо Тарталья (1499 – 13 декабря 1557) – итальянский математик, инженер фортификационных сооружений, геодезист, имя которого неразрывно связано с разработкой способа решения кубических уравнений в радикалах.
О жизни Тарталья известно не очень много. Хотя остались его сочинения, но очень мало сведений о его жизни. Даже точная дата рождения Никколо Тартальи неизвестна: то ли 1499, то ли 1500 или даже 1501 год. Неизвестна и его фамилия, считается, что Фонтана. Тарталья – это прозвище, от итальянского слова tartaglia – заика.
Никколо жил во времена так называемых Итальянских войн (1494-1559), которые вели между собой Франция и Испания за право владеть Италией. Родился в Брешии. Отца своего он звал по имени Micheletto (Микелетто), и занимался он тем, что переправлял грузы и почту между Брешии и близлежащими городами. Хотя семья не была богатой, отец делал всё возможное, чтобы обеспечить жену, дочь и двух сыновей. Некоторое время Никколо Тарталья даже посещал школу, но после гибели отца в 1506 году семья погрузилась в крайнюю нищету, и ни о каком образовании не могло быть и речи.
В 1512 году, во время взятия Брешии французами, когда он с матерью спасался в соборе, он получил рану в нижнюю часть лица, вследствие которой произношение его стало неправильным. Поэтому товарищи прозвали его заикой, и прозвище это сделалось его фамилией.
В возрасте 14 лет, он был отдан в обучение публичному писцу, но так как мать его не могла аккуратно платить учителю, то Тарталья должен был вновь прекратить учение.
С тех пор я учился сам, и у меня не было другого наставника, кроме спутника бедности – предприимчивости,
– пишет Тарталья в одной из своих книг. Обладая большой настойчивостью и терпением, он научился читать сам. Пристрастившись к математике, он достиг того, что сдал экзамены на звание «магистра абака» (что-то вроде учителя арифметики) и начал работать в частном коммерческом лицее и впоследствии стал известным математиком своего времени. Преподавал он в Вероне, Брешии и Венеции.
Учеником Тартальи был другой выдающийся учёный эпохи Возрождения – Джамбатиста Бенедетти, итальянский механик, математик, астроном, теоретик музыки, считающийся одним из предшественников Галилея в построении классической механики.
Во времена, кода жил Тарталья, обычным делом было проведение научных поединков и турниров, на которых ученые состязались между собой в том, кто быстрее и больше решит задач, предложенных противником. Победитель получал деньги, обретал славу, ему предлагали занять почетную, хорошо оплачиваемую должность.
В конце 1534 года Тарталья получил вызов на такое состязание от некоего Антонио Фиоре – ученика известного профессора математики Болонского университета Сципиона дель Ферро. Никколо узнал, что Фиоре владеет секретом решения кубического уравнения, который ему сообщил его учитель дель Ферро. Тарталья сел за письменный стол и за несколько дней до диспута нашел способ решения уравнения третьей степени.
Я применил все рвение, прилежание и искусство, чтобы найти правило этих уравнений, и это удалось за десять дней до срока… благодаря счастливой судьбе
– вспоминал позже Тарталья. Поединок состоялся 12 февраля 1535 года. Каждому из состязающихся надо было решить по 30 задач. За два часа Тарталья справился со всеми задачами, предложенными ему Фиоре, а тот не решил ни одной задачи противника. Победа была полной. Фиоре не мог поверить происходящему и обвинил Тарталья в краже формул, но доказать ничего не смог. К Тарталья пришли слава и почёт.
Вопрос о том, действительно ли Тарталья независимо открыл метод дель Ферро, неоднократно обсуждался. Высказывалось предположение, что на самом деле Тарталья каким-то образом получил доступ к записям дель Ферро. В качестве косвенных доказательств этой гипотезы историки ссылались на то, что других серьёзных математических достижений у Тартальи не было.
Историк науки Мориц Кантор считает, что у Тартальи было слишком мало времени для решения проблемы, над которой лучшие умы бились на протяжении двух тысячелетий. Кроме того, добавляет он, решения Тартальи и дель Ферро похожи как две капли воды.
В настоящее время большинство ученых сходится на том, что первым решение кубического уравнения нашел дель Ферро; Фиоре узнал его от своего учителя; Тарталья переоткрыл формулу дель Ферро (такое нередко бывает в науке); Кардано же дал полную и исчерпывающую теорию решения любого уравнения третьей степени.
С просьбой сообщить ему алгоритм решения алгебраического уравнения третьей степени к Тарталье обратился другой известный ученый Джироламо Кардано, который был одновременно математиком и механиком, врачом и алхимиком, хиромантом и личным астрологом римского папы.
Много раз Кардано просил Тарталью показать ему формулы, позволяющие находить корни кубического уравнения, и каждый раз получал отказ. Наконец, в 1539 году Тарталья открыл свой секрет Кардано, взяв с того слово никогда не публиковать сообщенные ему сведения. Но через шесть лет Кардано нарушил свою «священную клятву».
В 1545 году он издал труд «Великое искусство, или о правилах алгебры», где привел алгоритмы решения уравнений третьей и четвертой степени. В предисловии к книге Кардано пишет:
В наше время Сципион дель Ферро открыл формулу, согласно которой куб неизвестного плюс неизвестное равен числу. Это была очень красивая и замечательная работа. Соревнуясь с ним, Никколо Тарталья из Брешии, наш друг, будучи вызван на состязание с учеником дель Ферро по имени Антонио Марио Фиоре, решил, дабы не быть побежденным, ту же самую проблему и после долгих просьб передал ее мне.
И хотя Кардано честно написал о том, от кого он узнал секрет решения уравнения третьей степени, Тарталья был оскорблён и пребывал в гневе. У Тарталья бал тяжёлый характер. Вот что писал о нём его современник Р. Бомбелли:
Этот человек по натуре своей был так склонен говорить только дурное, что, даже хуля кого-либо, считал, что дает ему лестный отзыв.
В адрес Кардано полетели оскорбления и угрозы, тот не ответил.
В конце жизненного пути Кардано написал автобиографическую книгу «О моей жизни», в которой есть такие строчки:
Сознаюсь, что в математике кое-что, но в самом деле ничтожное количество, я заимствовал у брата Никколо.
Возможно, его все-таки мучила совесть.
За честь Кардано вступился Лодовико (Луиджи) Феррари и написал Никколо резкое письмо. В заключение он вызвал Тарталью на публичный диспут по «геометрии, арифметике или связанным с ними дисциплинам, таким как астрология, музыка, космография, перспектива, архитектура и др.»
Поединок состоялся 10 августа 1548 года в Милане. Косноязычному Тарталье было трудно противостоять молодому блестящему Феррари, и он потерпел поражение. Бесславное для Тартальи завершение диспута уронило его научный авторитет и сильно повредило дальнейшей карьере.
Феррари же приумножил свою славу. К слову, успех этот нельзя назвать случайным. С 15 лет Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано и быстро обнаружил выдающиеся способности. В восемнадцать лет Феррари стал профессором Миланского университета. А имя своё в историю математики вписал тем, что сумел найти способ для решения уравнений четвёртой степени аналогичный алгоритму решения кубических уравнений. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».
В оставленных Тартальей сочинениях он рассматривает не только вопросы математики, но и некоторые вопросы практической механики, баллистики и топографии. Так, в первом из его сочинений, «Новая наука» (1537), он впервые рассматривает вопрос о траектории выпущенного снаряда, причём утверждает, что траектория эта на всём её протяжении есть кривая линия, между тем как до него учили, что траектория снаряда состоит из двух прямых, соединённых кривой линией; тут же он показывает, что наибольшая дальность полёта соответствует углу в 45°; кроме того, в этой книге рассматриваются различные вопросы об измерении поверхности полей.
Вместе с вопросами артиллерии Тарталья занимался также и вопросами укрепления городов и фортификацией вообще и в сочинении «Вопросы различных изобретений» (1546) он предлагает даже особую систему фронта, по начертанию схожего с тенальным; он трактует также о топографической съёмке с помощью буссоли и излагает историю открытия им решения кубических уравнений. В сочинениях «La travagliata invenzione» и «Ragionamenti sopra la Travagliata invenzione» (1551) говорится о разных изобретениях автора, которые он приписывает себе, но все они уже были изложены в 1550 году в книге Кардано и принадлежат последнему.
Наиболее обширное сочинение автора называется «Большой трактат о числах и мерах» (1556–1560); в нём подробно рассматриваются многие вопросы арифметики, алгебры и геометрии. В частности, в работе приводится формула, иногда именуемая формулой Тарталья или Герона – Тарталья, но открытая художником Пьеро делла Франческа в XV веке, с помощью которой можно найти объём произвольного тетраэдра через шесть расстояний между его вершинами. Это трёхмерный аналог формулы Герона для площади треугольника.
После поражения от Феррари Тарталья стали меньше приглашать читать лекции, и он занимал себя тем, что переводил на итальянский язык труды Архимеда и Евклида. Начал выходить его многотомный «Общий трактат о числе и мере» (1556-1560), издание которого завершилось уже после смерти учёного.
Никколо Тарталья умер 13 или 14 декабря 1557 года. Обстоятельства его смерти неизвестны.
Имя Тарталья носят следующие математические объекты:
- формулы Кардано – Тарталья
- формула Герона – Тарталья.
По материалам статьи В.П. Лишевского «Затянувшийся спор. К 500-летию со дня рождения Никколо Тартальи» (Вестник Российской АН, том 70, № 2, 2000) и Википедии.
Источник
Тарталья, Никколо
Никколо Тарталья (итал. Niccolò Fontana Tartaglia , 1499—1557) — итальянский математик.
Содержание
Биография
Родился в Брешии. Истинная фамилия — Фонтана (Fontana). Отца своего он звал по имени Micheletto (Микелетто). В 1512 году, во время взятия Брешии французами, когда он с матерью спасался в соборе, он получил рану в нижнюю часть лица, вследствие которой произношение его стало неправильным. Поэтому товарищи прозвали его заикой (tartaglia) и прозвище это сделалось его фамилией.
14-ти лет он был отдан в обучение публичному писцу, но так как мать его не могла аккуратно платить учителю, то Тарталья должен был прекратить учение в самом начале. Обладая большой настойчивостью и терпением, он научился читать сам. Пристрастившись к математике, он достиг того, что стал сам преподавать другим и впоследствии стал известным математиком своего времени. Преподавал он в Вероне, Брешии и Венеции.
Учеником Тартальи был другой выдающийся учёный эпохи Возрождения — Джамбатиста Бенедетти.
Научная деятельность
В оставленных Тартальей сочинениях он рассматривает не только вопросы математики, но и некоторые вопросы практической механики, баллистики и топографии. Так, в первом из его сочинений, «Nuova scienza» (1537), он впервые рассматривает вопрос о траектории выпущенного снаряда, причём утверждает, что траектория эта на всём её протяжении есть кривая линия, между тем как до него учили, что траектория снаряда состоит из двух прямых, соединённых кривой линией; тут же он показывает, что наибольшая дальность полёта соответствует углу в 45°; кроме того, в этой книге рассматриваются различные вопросы об измерении поверхности полей.
Вместе с вопросами артиллерии Тарталья занимался также и вопросами укрепления городов и фортификацией вообще и в сочинении «Quesiti et invenzioni diverse» (1546) он предлагает даже особую систему фронта, по начертанию схожего с тенальным; он трактует также о топографической съёмке с помощью буссоли и излагает историю открытия им решения кубических уравнений. В сочинениях «La travagliata invenzione» и «Ragionamenti sopra la Travagliata invenzione» (оба 1551 г.) говорится о разных изобретениях автора, которые он приписывает себе, но все они уже изложены в 1550 г. в книге Кардано «De subtilitate» и принадлежат последнему.
Наиболее обширное сочинение автора называется «Generale trattato de numeri e misure» (1556—1560); в нём подробно рассматриваются многие вопросы арифметики, алгебры и геометрии.
По словам Тартальи, он самостоятельно открыл общий алгоритм решения кубических уравнений, несколько ранее найденный Сципионом дель Ферро. В 1539 году Тарталья передал описание этого метода Дж. Кардано, который поклялся не публиковать его без разрешения Тартальи. Несмотря на обещание, в 1545 году Кардано опубликовал этот алгоритм в работе «Великое искусство», и по этой причине он вошёл в историю математики как «формула Кардано».
Вопрос о том, действительно ли Тарталья независимо открыл метод дель Ферро, неоднократно обсуждался [1] . Высказывалось предположение, что на самом деле Тарталья каким-то образом получил доступ к записям дель Ферро. В качестве косвенных доказательств этой гипотезы историки ссылались на то, что других серьёзных математических достижений у Тартальи не было. Однако прямых свидетельств в пользу указанного предположения найти не удалось.
Источник
Никколо Фонтана Тарталья — Niccolò Fontana Tartaglia
Ранние исследования баллистики
Треугольник Тартальи
Никколо Фонтана Тарталья ( итал. [Nikkoˈlɔ ffonˈtaːna tarˈtaʎʎa] ; 1499/1500 — 13 декабря 1557) был итальянским математиком , инженером (проектирование укреплений), геодезистом ( топографией , ища лучшие средства защиты или нападения) и бухгалтером из тогдашняя Венецианская республика (ныне часть Италии ). Он опубликовал много книг, в том числе первые итальянские переводы « Архимеда и Евклида» , а также знаменитый сборник математики . Тарталья был первым, кто применил математику к исследованию путей пушечных ядер, известных как баллистика , в своей книге «Новая наука» ( A New Science , 1537); Позднее его работа была частично подтверждена и частично заменена исследованиями Галилея о падающих телах . Он также опубликовал трактат о поиске затонувших кораблей.
СОДЕРЖАНИЕ
Личная жизнь
Никколо Фонтана родился в Брешии , в семье Микеле Фонтаны, курьера, который ездил в соседние города для доставки почты. В 1506 году Микеле был убит грабителями, а Никколо, двое его братьев и сестер, и его мать остались в нищете. Никколо пережил еще одну трагедию в 1512 году, когда войска короля Людовика XII вторглись в Брешию во время войны Камбрейской лиги против Венеции . Ополчение Брешии защищало свой город семь дней. Когда французы наконец прорвались, они отомстили, убив жителей Брешии. К концу боя было убито более 45 000 жителей. Во время резни Никколо и его семья искали убежище в местном соборе. Но вошли французы, и солдат разрезал Никколо челюсть и нёбо саблей и бросил его умирать. Его мать вылечила его, но мальчик остался с дефектом речи, из-за чего он получил прозвище «Тарталья» («заикающийся»). После этого он никогда не стал бриться и отрастил бороду, чтобы замаскировать шрамы.
Биограф Тартальи Арнольдо Масотти пишет, что:
В возрасте около четырнадцати лет он [Тарталья] пошел к Мастеру Франческо, чтобы научиться писать алфавит; но к тому времени, когда он достиг «k», он уже не мог платить учителю. «С того дня, — писал он позже в трогательном автобиографическом очерке, — я больше никогда не возвращался к наставнику, но продолжал трудиться один над трудами мертвых, в сопровождении только дочери бедности, которую называют трудолюбием» ( Quesiti , кн. VI, вопрос 8).
Тарталья переехал в Верону около 1517 года, затем в Венецию в 1534 году, крупный европейский торговый центр и один из величайших центров итальянского Возрождения в то время. Также актуально место Венеции в авангарде европейской печатной культуры в шестнадцатом веке, делая ранние печатные тексты доступными даже для бедных ученых, если они достаточно мотивированы или имеют хорошие связи — например, Тарталья знал о работе Архимеда по квадратуре параболы, из латинского издания 1503 года Гуарико, которое он нашел «в руках продавца сосисок в Вероне в 1531 году» ( in mano di un salzizaro в Вероне, l’anno 1531, по его словам).
Тарталья зарабатывал себе на жизнь преподаванием практической математики в школах счётов и зарабатывал пенни, где мог:
Этот замечательный человек [Тарталья] был учителем математики-самоучкой, который продавал математические советы артиллеристам и архитекторам, десять пенни за один вопрос, и ему приходилось вести тяжбу со своими клиентами, когда они давали ему потрепанный плащ для его лекций по Евклиду вместо платы. договорились о.
Он умер в Венеции.
Баллистика
Новая наука (1537 г.) была первой опубликованной работой Тартальи, которую Маттео Валлериани описал как:
. одна из самых фундаментальных работ по механике Возрождения, действительно первая, которая преобразовала аспекты практических знаний, накопленных ранними современными артиллеристами, в теоретическую и математическую основу.
Тогда господствующая аристотелевская физика предпочла такие категории, как «тяжелый», «естественный» и «сильный», для описания движения, обычно избегая математических объяснений. Тарталья выдвинул математические модели на передний план, «потрошив аристотелевские термины движения снаряда», как выразилась Мэри Дж. Хеннингер-Фосс. Один из его выводов заключался в том, что максимальная дальность полета снаряда была достигнута при наведении пушки под углом 45 ° к горизонту.
Модель полета пушечного ядра Тартальи заключалась в том, что оно исходило от пушки по прямой линии, затем через некоторое время начинало двигаться по дуге к земле по круговой траектории, а затем, наконец, падало по другой прямой линии прямо к земле. В конце Книги 2 Новой Науки Тарталья предлагает найти длину этой первоначальной прямолинейной траектории для снаряда, выпущенного под углом 45 °, используя аргумент в евклидовом стиле, но с числами, прикрепленными к сегментам линий и площадям. , и в конечном итоге переходит к алгебраическому поиску нужной величины ( по его словам, methodremo per algebra ).
Мэри Дж. Хеннингер-Фосс отмечает, что «труды Тартальи по военной науке имели огромное распространение по всей Европе», являясь справочником для обычных артиллеристов восемнадцатого века, иногда посредством переводов без указания имени. Он также повлиял на Галилея, который владел «богато аннотированными» копиями его работ по баллистике, когда он приступил к решению проблемы снарядов раз и навсегда.
Переводы
Работы Архимеда начали изучать за пределами университетов во времена Тартальи как образец представления о том, что математика является ключом к пониманию физики. Федериго Коммандино отразил это представление, когда в 1558 году сказал, что «в отношении геометрии никто в здравом уме не может отрицать этого. Архимед был каким-то богом ». В 1543 году Тарталья опубликовал 71-страничное латинское издание «Архимеда», Opera Archimedis Syracusani Philipphi et mathematici ingeniosissimi , содержащее работы Архимеда о параболе, круге, центрах тяжести и парящих телах. Гуарико опубликовал латинские издания первых двух в 1503 году, но работы о центрах тяжести и плавающих телах ранее не публиковались. Позднее Тарталья опубликовал итальянские версии некоторых архимедовых текстов, его душеприказчик продолжал публиковать его переводы после его смерти. Галилей, вероятно, узнал о творчестве Архимеда из этих широко распространенных изданий.
Итальянское издание Тартальи Евклида в 1543 году, Euclide Megarense philosopho , было особенно значительным как первый перевод Элементов на любой современный европейский язык. В течение двух столетий Евклид учился на двух латинских переводах, взятых из арабского источника; они содержали ошибки в Книге V, евдоксианской теории пропорции, которая делала ее непригодной для использования. Издание Тарталья было основано на Zamberti латинского перевода «s из неповрежденного греческого текста и визуализация Книга V правильно. Он также написал первый современный и полезный комментарий к теории. Эта работа выдержала множество изданий в шестнадцатом веке и помогла распространить знания математики среди неакадемической, но все более хорошо информированной грамотной и умеющей считать публику в Италии. Теория стала важным инструментом для Галилея , как и для Архимеда .
General Trattato di Numeri et Misure
Тарталья послужила примером и в конечном итоге превзошла традицию абакко, которая процветала в Италии с двенадцатого века, традицию конкретной коммерческой математики, преподаваемой в школах абака, поддерживаемых сообществами торговцев. Такие маэстро д’абако, как Тарталья, учили не на счетах, а на бумаге и ручке, внедряя алгоритмы, которые используются сегодня в начальных школах.
Шедевром Тартальи был General Trattato di Numeri et Misure ( Общий трактат о числах и мерах ), энциклопедия на 1500 страницах, состоящая из шести частей, написанных на венецианском диалекте, первые три из которых вышли в 1556 году, примерно во время смерти Тартальи, а последние три. опубликованы посмертно его литературным исполнителем и издателем Curtio Troiano в 1560 году Дэвид Юджин Смит писал о Генеральной Trattato , что это было:
лучший трактат по арифметике, появившийся в Италии в его столетие, содержащий очень полное обсуждение числовых операций и коммерческих правил итальянских арифметиков. В этом замечательном произведении изложены жизнь людей, обычаи торговцев и усилия по совершенствованию арифметики в XVI веке.
Часть I занимает 554 страницы и представляет собой, по сути, коммерческую арифметику, рассматривая такие темы, как основные операции со сложными валютами дня (дукаты, солди, пизолли и т. Д.), Обмен валют, расчет процентов и совместное разделение прибыли. компании. Книга изобилует проработанными примерами с большим упором на методы и правила (то есть алгоритмы), и все они готовы к использованию практически как есть.
В части II рассматриваются более общие арифметические задачи, включая прогрессии, степени, биномиальные разложения, треугольник Тартальи (также известный как «треугольник Паскаля»), вычисления с корнями и пропорциями / дробями.
Часть IV посвящена треугольникам, правильным многоугольникам, Платоновым телам и архимедовым темам, например, квадратуре круга и описанию цилиндра вокруг сферы.
Треугольник Тартальи
Тарталья хорошо разбирался в биномиальных разложениях и включил множество рабочих примеров в Часть II Общего Траттато , в одном из которых подробно объясняется, как вычислять слагаемые , включая соответствующие биномиальные коэффициенты . ( 6 + 4 ) 7 <\ displaystyle (6 + 4) ^ <7>> 
Тарталья знал о треугольнике Паскаля за сто лет до Паскаля, как показано на этом изображении из General Trattato . Его примеры числовые, но он думает об этом геометрически, горизонтальная линия на вершине треугольника разбита на два сегмента и , где точка — вершина треугольника. Биномиальные расширения равносильны тому, чтобы принимать за экспоненты, когда вы спускаетесь по треугольнику. Символы снаружи представляют полномочия на этой ранней стадии алгебраической записи: и так далее. Он прямо пишет о правиле аддитивного образования, что (например) смежные 15 и 20 в пятой строке в сумме дают 35, которая появляется под ними в шестой строке. а б <\ displaystyle ab> а c <\ displaystyle ac> c б <\ displaystyle cb> c <\ displaystyle c> ( а c + c б ) п <\ displaystyle (ac + cb) ^ п знак равно 2 , 3 , 4 , ⋯ <\ Displaystyle п = 2,3,4, \ cdots> c е знак равно 2 , c ты знак равно 3 , c е . c е знак равно 4 <\ displaystyle ce = 2, cu = 3, ce.ce = 4>
Решение кубических уравнений
Сегодня Тарталья, пожалуй, наиболее известен своими конфликтами с Джероламо Кардано . В 1539 году Кардано уговорил Тарталья раскрыть свое решение кубических уравнений , пообещав не публиковать их. Тарталья раскрыл секреты решений трех различных форм кубического уравнения в стихах. Несколько лет спустя Кардано случайно увидел неопубликованную работу Сципиона дель Ферро, который независимо придумал то же решение, что и Тарталья. Поскольку неопубликованная работа была датирована до Тартальи, Кардано решил, что его обещание может быть нарушено, и включил решение Тартальи в свою следующую публикацию. Несмотря на то, что Кардано приписал свое открытие, Тарталья был чрезвычайно расстроен, и между ним и учеником Кардано, Людовико Феррари, состоялся знаменитый публичный вызов . Однако широко распространенные истории о том, что Тарталья посвятил остаток своей жизни разрушению Кардано, кажутся полностью сфабрикованными. Историки математики теперь приписывают Кардано и Тарталью формулу для решения кубических уравнений, называя ее « формулой Кардано – Тарталья ».
Объем тетраэдра
Тарталья был великолепным калькулятором и мастером твердой геометрии. В части IV Общего траттато он показывает на примере, как вычислить высоту пирамиды на треугольном основании, то есть неправильном тетраэдре.
Основание пирамиды представляет собой треугольник , с ребрами длиной , и поднимается к вершине от точек , и соответственно. Базовый треугольник разбиения на и треугольники опуская перпендикуляр из точки в сторону . Он продолжает строить треугольник в плоскости, перпендикулярной линии, проходящей через вершину пирамиды, точку , вычисляя все три стороны этого треугольника и отмечая, что его высота равна высоте пирамиды. На последнем этапе он применяет то, что составляет эту формулу для высоты треугольника с точки зрения его сторон (высота от стороны до противоположной вершины): 13 — 14 — 15 <\ displaystyle 13-14-15> б c d <\ displaystyle bcd> 20 , 18 <\ displaystyle 20,18> 16 <\ displaystyle 16> а <\ displaystyle a> б <\ displaystyle b> c <\ displaystyle c> d <\ displaystyle d> б c d <\ displaystyle bcd> 5 — 12 — 13 <\ displaystyle 5-12-13> 9 — 12 — 15 <\ displaystyle 9-12-15> d <\ displaystyle d> б c <\ displaystyle bc> б c <\ displaystyle bc> а <\ displaystyle a> час <\ displaystyle h> п , q , р <\ displaystyle p, q, r> п <\ displaystyle p>
час 2 знак равно р 2 — ( п 2 + р 2 — q 2 2 п ) 2 , <\ displaystyle h ^ <2>= r ^ <2>— \ left ( <
+ r ^ <2>-q ^ <2>> \ over <2p>> \ right) ^ <2 >,>
формула, происходящая из закона косинусов (не то, чтобы он цитировал какое-либо обоснование в этом разделе Общего траттато ).
Тарталья опускает цифру на ранней стадии вычислений, беря как , но его метод верен. Окончательный (правильный) ответ: 305 31 год 49 <\ displaystyle 305 <\ frac <31><49>>> 305 3 49 <\ displaystyle 305 <\ frac <3><49>>>
высота пирамиды знак равно 240 615 3136 . <\ displaystyle <\ text <высота пирамиды>> = <\ sqrt <240 <\ frac <615><3136>>>>.>
Объем пирамиды после этого легко получить (не то, что Тарталья дает):
V знак равно 1 / 3 × база × высота знак равно 1 / 3 × Область ( △ б c d ) × высота знак равно 1 / 3 × 84 × 240 615 3136 ≈ 433,9513222 <\ displaystyle <\ begin
Саймон Стевин изобрел десятичные дроби позже в шестнадцатом веке, поэтому последняя цифра была чуждой для Тартальи, который всегда использовал дроби. Тем не менее, его подход в некотором роде является современным, предлагая на примере алгоритм вычисления высоты большинства или всех неправильных тетраэдров, но (как обычно для него) он не дает явной формулы.
Источник