Графический способ исследования моментов инерции. Круги Мора
Іх = cоs 2 α + sin 2 α,Іу = cоs 2 α + sin 2 α., Іху = sin2α представляют уравнение окружности впараметрической форме. Поэтому вычисление моментов инерции по полученным аналитическим формулам можно заменить графическим определением этих величин в системе координат (Іх, Іу), Іху, построив круг, называемый кругом инерции.
В графическом способе исследования моментов инерции рассматриваются прямая и обратная задачи.
Прямая задача: известны главные центральные моменты инерции , , требуется графическим способом найти моменты инерции Іх, Іу, Іху относительно осей х и у, повернутых от главных осей на угол α.
В координатной системе (Іх, Іу), Іху (рис.2.10) построим круг на диаметре АВ, отложив в масштабе отрезки ОА= , ОВ = . В центре круга С от оси абсцисс отложим центральный угол 2α (α >0, если он откладывается против часовой стрелки), пересечение стороны этого угла с окружностью обозначим через Dх, а диаметрально ей расположенную точку через Dу. Проекции этих точек на ось абсцисс обозначим через Кх,, Ку.
Так как 1+cos2α =2 cos 2 α, 1-cos2α =2sin 2 α., то
ОКх = ∙ cos 2 α + ∙sin 2 α = Іх,
ОКу = ∙ sin 2 α + ∙cos 2 α = Іу,
Обратная задача: известны моменты инерции относительно центральных осей
Іх, Іу, Іху, необходимо определить главные центральные моменты инерции и положение главных центральных осей.
КхDх = Іху, КуDу = — Іху (рис.2.11). На отрезке DХDУ как на диаметре построим круг и обозначим на оси абсцисс его крайние точки: крайнюю правую точкой А, крайнюю левую тоИз преды-дущей задачи следует: ОА=, ОВ= Найдем значения этих величин, выразив их через отрезки круга: ОА=ОС+СА,
Используя значения полученных отрезков, запишем выражения для главных центральных моментов инерции
Из рис. 2.11 следует, что α0 = -α, тогда
2.7 Радиусы и эллипс инерции
Осевые моменты инерции сечения можно представить как произведение площади сечения на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции: Іх == =А, где — радиус инерции относительно осих. Из этого выражения следует, что , . Главным центральным осям будут соответствовать главные радиусы инерции
Выражение=1 представляет уравнение эллипса, полуосями которого являются главные радиусы инерции.
Эллипс, построенный на полуосях, равных главным радиусам инерции, называется эллипсом инерции.
Необходимо отметить, что при построении эллипса отрезки, равные , откладываются по оси у0, а отрезки, равные , — по оси х0. Поэтому эллипс инерции всегда вытянут вдоль сечения (рис.2.12), и он не может быть больше сечения, а так же заметно меньше его (рис.2.13).
Для определения момента инерции относительно произвольной оси Х необходимо провести касательную α -α к эллипсу инерции, параллельную этой оси. Перпендикуляр СК, опущенный из центра эллипса С на эту касательную будет равен радиусу инерции, т.е., і х=СК, Iх=(СК) 2 А
3.7 Моменты инерции сложных сечений
При проверке прочности элементов конструкций приходится встречаться с поперечными сечениямидовольно сложной формы, для которых нельзя вычислить моменты инерции таким простым путем, каким пользовались для треугольника, прямоугольника или круга. В этом случае сложное сечение разбивают на простые фигуры, для которых известны площади, координаты центров тяжестей и моменты инерции относительно собственных центральных осей . По формулам (3.1) находят координаты центра тяжести c всего сечения в произвольно выбранных осях x0,y0, параллельных центральным осям выделенных элементов. Через центр тяжести c проводят центральные оси сечения u, v, относительно которых вычисляют осевые и центробежный моменты инерции по формулам (3.15). Моменты инерции относительно главных центральных осей определяются по формулам (3.20), а положение главных центральных осей – по формуле (3.18).
Пример. Для заданного сложного поперечного сечения, состоящего из двутавра №18 и уголка 100х100х12, вычислить значения главных центральных моментов инерции ,и положение главных центральных осей u, v.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Источник
Примеры расчетов и лабораторных по термеху и сопроматы
Круг Мора моментов инерции сечений
Кроме аналитического метода определения положения главных осей и вычисления главных моментов инерции по формулам (2.8 –2.10) можно использовать графический метод – построение круга Мора моментов инерции сечения. Графический метод может использоваться как независимо, так и для контроля правильности аналитических расчетов. При аккуратном построении круга Мора графический метод позволяет определить положение главных осей и значения главных моментов инерции с точностью 3-х – 5-ти процентов. Круг Мора моментов инерции сечения строится после определения положения центральных осей и вычисления осевых Jy и Jz и центробежного моментов инерции Jyz. При построении круга Мора моментов инерции сечения в прямоугольной системе координат в принятом масштабе на горизонтальной оси откладывают осевые моменты инерции, на вертикальной – центробежный момент инерции:
Порядок построения круга Мора моментов инерции (рис. 2.3).
1. Откладываем на горизонтальной оси осевые моменты инерции Jy — точка 1 и Jz — точка 2;
Из точки 1 по вертикальной оси откладываем (с учетом знака) центробежный момент инерции Jyz. — точка 3; Внутренние силы и напряжения Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, а прочие силовые факторы равны нулю.
Делим отрезок 12 пополам – точка 4.
При этом получаем длины отрезков между точками ij:
; ; .
4. Из точки 4 проводим окружность радиусом .
Получаем точки 5 и 6 пересечения окружности с горизонтальной осью. Длины отрезков от начала координат до этих точек соответственно равны:
;
. (2.12)
Сравнивая Формулы (2.12) с формулами (2.10) главных моментов инерции, видим, что
; .
Из рис. 2.3. с учетом формулы (2.8) видно также, что
; ;
Тогда, из геометрии круга известно, что
и, что отрезки 53 и 63, опирающиеся на диаметр круга, пересекаются под прямым углом.
Следовательно, если вертикальную и горизонтальную оси круга Мора совместить с центральными осями сечения у, z, то направления отрезков 53 и 63 будут совпадать с направлением главных осей сечения.
Таким образом, круг Мора (рис. 2.3) позволяет графически определить величины главных моментов инерции и направление главных осей сечения.
Замечание. Чтобы направления главных осей были получены правильно, необходимо значение центробежного момента инерции откладывать с учетом знака из точки 1 – из конца отрезка 01, равного осевому моменту инерции Jy (момент инерции относительно вертикальной оси).
Источник
Графический способ исследования моментов инерции. Круги Мора
Іх = cоs 2 α + sin 2 α, Іу = cоs 2 α + sin 2 α., Іху = sin2α представляют уравнение окружности впараметрической форме. Поэтому вычисление моментов инерции по полученным аналитическим формулам можно заменить графическим определением этих величин в системе координат (Іх, Іу), Іху, построив круг, называемый кругом инерции.
В графическом способе исследования моментов инерции рассматриваются прямая и обратная задачи.
Прямая задача: известны главные центральные моменты инерции , , требуется графическим способом найти моменты инерции Іх, Іу, Іху относительно осей х и у, повернутых от главных осей на угол α.
В координатной системе (Іх, Іу), Іху (рис.2.10) построим круг на диаметре АВ, отложив в масштабе отрезки ОА= , ОВ = . В центре круга С от оси абсцисс отложим центральный угол 2α (α >0, если он откладывается против часовой стрелки), пересечение стороны этого угла с окружностью обозначим через Dх, а диаметрально ей расположенную точку через Dу. Проекции этих точек на ось абсцисс обозначим через Кх,, Ку.
Так как 1+cos2α =2 cos 2 α, 1-cos2α =2sin 2 α., то
ОКх = ∙ cos 2 α + ∙sin 2 α = Іх,
ОКу = ∙ sin 2 α + ∙cos 2 α = Іу,
Обратная задача: известны моменты инерции относительно центральных осей
Іх, Іу, Іху, необходимо определить главные центральные моменты инерции и положение главных центральных осей.
КхDх = Іху, КуDу = — Іху (рис.2.11). На отрезке DХDУ как на диаметре построим круг и обозначим на оси абсцисс его крайние точки: крайнюю правую точкой А, крайнюю левую тоИз преды-дущей задачи следует: ОА=, ОВ= Найдем значения этих величин, выразив их через отрезки круга: ОА=ОС+СА,
Используя значения полученных отрезков, запишем выражения для главных центральных моментов инерции
Из рис. 2.11 следует, что α0 = -α, тогда
2.7 Радиусы и эллипс инерции
Осевые моменты инерции сечения можно представить как произведение площади сечения на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции: Іх == =А, где — радиус инерции относительно осих. Из этого выражения следует, что , . Главным центральным осям будут соответствовать главные радиусы инерции
Выражение=1 представляет уравнение эллипса, полуосями которого являются главные радиусы инерции.
Эллипс, построенный на полуосях, равных главным радиусам инерции, называется эллипсом инерции.
Необходимо отметить, что при построении эллипса отрезки, равные , откладываются по оси у0, а отрезки, равные , — по оси х0. Поэтому эллипс инерции всегда вытянут вдоль сечения (рис.2.12), и он не может быть больше сечения, а так же заметно меньше его (рис.2.13).
Для определения момента инерции относительно произвольной оси Х необходимо провести касательную α -α к эллипсу инерции, параллельную этой оси. Перпендикуляр СК, опущенный из центра эллипса С на эту касательную будет равен радиусу инерции, т.е., і х=СК, Iх=(СК) 2 А
3.7 Моменты инерции сложных сечений
При проверке прочности элементов конструкций приходится встречаться с поперечными сечениямидовольно сложной формы, для которых нельзя вычислить моменты инерции таким простым путем, каким пользовались для треугольника, прямоугольника или круга. В этом случае сложное сечение разбивают на простые фигуры, для которых известны площади, координаты центров тяжестей и моменты инерции относительно собственных центральных осей . По формулам (3.1) находят координаты центра тяжести c всего сечения в произвольно выбранных осях x0,y0, параллельных центральным осям выделенных элементов. Через центр тяжести c проводят центральные оси сечения u, v, относительно которых вычисляют осевые и центробежный моменты инерции по формулам (3.15). Моменты инерции относительно главных центральных осей определяются по формулам (3.20), а положение главных центральных осей – по формуле (3.18).
Пример. Для заданного сложного поперечного сечения, состоящего из двутавра №18 и уголка 100х100х12, вычислить значения главных центральных моментов инерции ,и положение главных центральных осей u, v.
Источник