Модель мора кулона mohr coulomb

Теория Мора – Кулона — Mohr–Coulomb theory

Математическая модель, описывающая реакцию хрупкого материала на механические напряжения и определяющая сопротивление сдвигу грунтов и горных пород.

Теория Мора – Кулона — это математическая модель (см. Поверхность текучести ), описывающая реакцию хрупких материалов, таких как бетон или груды щебня, на напряжение сдвига, а также нормальное напряжение. Большинство классических инженерных материалов так или иначе следуют этому правилу, по крайней мере, в части их диапазона разрушения при сдвиге. Обычно теория применима к материалам, у которых прочность на сжатие намного превышает предел прочности на разрыв .

В геотехнике он используется для определения прочности грунтов и горных пород на сдвиг при различных эффективных напряжениях .

В проектировании конструкций он используется для определения разрушающей нагрузки, а также угла разрушения сдвиговой трещины в бетоне и подобных материалах. Кулоновское «с трением гипотеза используется для определения комбинации сдвига и нормального напряжения , что приведет к разрушению материала. Круг Мора используется для определения того, какие главные напряжения будут вызывать эту комбинацию сдвига и нормального напряжения, а также угол плоскости, в котором это произойдет. Согласно принципу нормальности напряжение, возникающее при разрушении, будет перпендикулярно линии, описывающей состояние разрушения.

Можно показать, что материал, разрушающийся в соответствии с гипотезой кулоновского трения, будет демонстрировать смещение, вносимое при разрыве, образуя угол к линии разрушения, равный углу трения . Это позволяет определить прочность материала путем сравнения внешней механической работы, вызванной смещением и внешней нагрузкой, с внутренней механической работой, вызванной деформацией и напряжением на линии разрушения. За счет сохранения энергии их сумма должна быть равна нулю, и это позволит рассчитать разрушающую нагрузку конструкции.

Обычным усовершенствованием этой модели является объединение гипотезы кулоновского трения с гипотезой Рэнкина о главном напряжении для описания отрывной трещины. Альтернативная точка зрения выводит критерий Мора-Кулона как отказ расширения .

История развития

Теория Мора – Кулона названа в честь Шарля-Огюстена де Кулона и Кристиана Отто Мора . Вклад Кулона — эссе 1773 года под названием « Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l’architecture ». Мор разработал обобщенную форму теории примерно в конце XIX века. Поскольку обобщенная форма повлияла на интерпретацию критерия, но не на ее сущность, в некоторых текстах этот критерий по-прежнему упоминается просто как « критерий Кулона» .

Критерий разрушения Мора – Кулона

Рисунок 1: Вид поверхности разрушения Мора – Кулона в трехмерном пространстве главных напряжений для c знак равно 2 , ϕ знак равно — 20 ∘ >

Критерий разрушения Мора – Кулона представляет собой линейную огибающую, которая получается из графика зависимости прочности материала на сдвиг от приложенного нормального напряжения. Это отношение выражается как

τ знак равно σ загар ⁡ ( ϕ ) + c

где — прочность на сдвиг, — нормальное напряжение, — точка пересечения границы разрушения с осью и — наклон зоны разрушения. Величину часто называют сцеплением, а угол — углом внутреннего трения . В нижеследующем обсуждении предполагается, что сжатие положительно. Если предполагается отрицательное сжатие, его следует заменить на . τ σ c τ загар ⁡ ( ϕ ) c ϕ σ — σ

Если критерий Мора – Кулона сводится к критерию Трески . С другой стороны, если модель Мора – Кулона эквивалентна модели Ренкина. Более высокие значения не допускаются. ϕ знак равно 0 ϕ знак равно 90 ∘ > ϕ

σ знак равно σ м — τ м грех ⁡ ϕ ; τ знак равно τ м потому что ⁡ ϕ — \ tau _ \ sin \ phi ~; ~~ \ tau = \ tau _ \ cos \ phi>

τ м знак равно σ 1 — σ 3 2 ; σ м знак равно σ 1 + σ 3 2 = — \ sigma _ > > ~; ~~ \ sigma _ = + \ sigma _ > >>

и — максимальное главное напряжение, и — минимальное главное напряжение. σ 1 > σ 3 >

Следовательно, критерий Мора – Кулона можно также выразить как

τ м знак равно σ м грех ⁡ ϕ + c потому что ⁡ ϕ . = \ sigma _ \ sin \ phi + c \ cos \ phi ~.>

Эта форма критерия Мора – Кулона применима к отказу на плоскости, параллельной направлению. σ 2 >

Критерий разрушения Мора – Кулона в трех измерениях

Трехмерный критерий Мора – Кулона часто выражается как

Поверхность разрушения Мора-Кулон является конусом с шестиугольным поперечным сечением в девиаторном пространстве напряжений.

Выражения для и могут быть обобщены для трех измерений путем разработки выражений для нормального напряжения и разрешенного напряжения сдвига на плоскости произвольной ориентации по отношению к осям координат (базисным векторам). Если единица измерения, нормальная к интересующей плоскости, равна τ σ

п знак равно п 1 е 1 + п 2 е 2 + п 3 е 3 = n_ ~ \ mathbf _ + n_ ~ \ mathbf _ + n_ ~ \ mathbf _ >

где три блок ортонормирована базисные векторы, и если главные напряжения выровнены с базисными векторами , то выражения для являются е я , я знак равно 1 , 2 , 3 _ , ~~ i = 1,2,3> σ 1 , σ 2 , σ 3 , \ sigma _ , \ sigma _ > е 1 , е 2 , е 3 _ , \ mathbf _ , \ mathbf _ > σ , τ

σ знак равно п 1 2 σ 1 + п 2 2 σ 2 + п 3 2 σ 3 τ знак равно ( п 1 σ 1 ) 2 + ( п 2 σ 2 ) 2 + ( п 3 σ 3 ) 2 — σ 2 знак равно п 1 2 п 2 2 ( σ 1 — σ 2 ) 2 + п 2 2 п 3 2 ( σ 2 — σ 3 ) 2 + п 3 2 п 1 2 ( σ 3 — σ 1 ) 2 . \ sigma & = n_ ^ \ sigma _ + n_ ^ \ sigma _ + n_ ^ \ sigma _ \\\ tau & = <\ sqrt <(n_ \ sigma _ ) ^ + (n_ \ sigma _ ) ^ + (n_ \ sigma _ ) ^ - \ sigma ^ >> \\ & = <\ sqrt >. \ End > >

Затем критерий разрушения Мора – Кулона можно оценить с помощью обычного выражения

τ знак равно σ загар ⁡ ( ϕ ) + c

для шести плоскостей максимального напряжения сдвига.

где — три ортонормированных единичных базисных вектора. Тогда вектор тяги на плоскости определяется выражением е я , я знак равно 1 , 2 , 3 _ , ~~ i = 1,2,3>

т знак равно п я σ я j е j (повторяющиеся индексы указывают на суммирование) = n_ ~ \ sigma _ ~ \ mathbf _ ~~~ >>

Величина вектора тяги определяется выражением

| т | знак равно ( п j σ 1 j ) 2 + ( п k σ 2 k ) 2 + ( п л σ 3 л ) 2 (повторяющиеся индексы указывают на суммирование) | = ~ \ sigma _ ) ^ + (n_ ~ \ sigma _ ) ^ + (n_ ~ \ sigma _ ) ^ >> ~~~ >>

Тогда величина напряжения, нормального к плоскости, определяется выражением

σ знак равно т ⋅ п знак равно п я σ я j п j (повторяющиеся индексы указывают на суммирование) \ cdot \ mathbf = n_ ~ \ sigma _ ~ n_ ~~ >>

Величина разрешенного напряжения сдвига на плоскости определяется выражением

Что касается компонентов, у нас есть

σ знак равно п 1 2 σ 11 + п 2 2 σ 22 + п 3 2 σ 33 + 2 ( п 1 п 2 σ 12 + п 2 п 3 σ 23 + п 3 п 1 σ 31 год ) τ знак равно ( п 1 σ 11 + п 2 σ 12 + п 3 σ 31 год ) 2 + ( п 1 σ 12 + п 2 σ 22 + п 3 σ 23 ) 2 + ( п 1 σ 31 год + п 2 σ 23 + п 3 σ 33 ) 2 — σ 2 \ sigma & = n_ ^ \ sigma _ + n_ ^ \ sigma _ + n_ ^ \ sigma _ +2 (n_ n_ \ sigma _ + n_ n_ \ sigma _ + n_ n_ \ sigma _ ) \\\ tau & = <\ sqrt <(n_ \ sigma _ + n_ \ sigma _ + n_ \ sigma _ ) ^ + (n_ \ sigma _ + n_ \ sigma _ + n_ \ sigma _ ) ^ + (n_ \ sigma _ + n_ \ sigma _ + n_ \ sigma _ ) ^ - \ sigma ^ >> \ end >>

Если главные напряжения выравниваются с базисными векторами , то выражения для АРЯ σ 1 , σ 2 , σ 3 , \ sigma _ , \ sigma _ > е 1 , е 2 , е 3 _ , \ mathbf _ , \ mathbf _ > σ , τ

Рисунок 2: Поверхность текучести Мора – Кулона в плоскости для π c знак равно 2 , ϕ знак равно 20 ∘ >

Рисунок 3: След поверхности текучести Мора – Кулона в плоскости для σ 1 — σ 2 — \ sigma _ > c знак равно 2 , ϕ знак равно 20 ∘ >

Поверхность разрушения Мора – Кулона в пространстве Хая – Вестергаарда

Поверхность разрушения (текучести) Мора – Кулона часто выражается в координатах Хая – Вестергаада . Например, функция

σ 1 — σ 3 2 знак равно σ 1 + σ 3 2 грех ⁡ ϕ + c потому что ⁡ ϕ — \ sigma _ > > = + \ sigma _ > > ~ \ грех \ фи + с \ соз \ фи>

[ 3 грех ⁡ ( θ + π 3 ) — грех ⁡ ϕ потому что ⁡ ( θ + π 3 ) ] ρ — 2 грех ⁡ ( ϕ ) ξ знак равно 6 c потому что ⁡ ϕ . > ~ \ sin \ left (\ theta + > \ right) — \ sin \ phi \ cos \ left (\ theta + < \ cfrac > \ right) \ right] \ rho — > \ sin (\ phi) \ xi = > c \ cos \ phi.>

В качестве альтернативы в терминах инвариантов мы можем написать п , q , р

[ 1 3 потому что ⁡ ϕ грех ⁡ ( θ + π 3 ) — 1 3 загар ⁡ ϕ потому что ⁡ ( θ + π 3 ) ] q — п загар ⁡ ϕ знак равно c > ~ \ cos \ phi>> ~ \ sin \ left (\ theta + > \ right) — > \ tan \ phi ~ \ cos \ left (\ theta + > \ right) \ right] qp ~ \ tan \ phi = c>

σ 1 ( 1 — грех ⁡ ϕ ) 2 c потому что ⁡ ϕ — σ 3 ( 1 + грех ⁡ ϕ ) 2 c потому что ⁡ ϕ знак равно 1 . ~ > — \ sigma _ ~ > = 1 ~.>

В инварианты Хей-Вестергард связаны с главными напряжениями от

σ 1 знак равно 1 3 ξ + 2 3 ρ потому что ⁡ θ ; σ 3 знак равно 1 3 ξ + 2 3 ρ потому что ⁡ ( θ + 2 π 3 ) . = >> ~ \ xi + >> ~ \ rho ~ \ cos \ theta ~; ~~ \ sigma _ = >> ~ \ xi + >> ~ \ rho ~ \ cos \ left (\ theta + > \ right) ~.>

Подстановка выражения для функции текучести Мора – Кулона дает нам

— 2 ξ грех ⁡ ϕ + ρ [ потому что ⁡ θ — потому что ⁡ ( θ + 2 π / 3 ) ] — ρ грех ⁡ ϕ [ потому что ⁡ θ + потому что ⁡ ( θ + 2 π / 3 ) ] знак равно 6 c потому что ⁡ ϕ > ~ \ xi ~ \ sin \ phi + \ rho [\ cos \ theta — \ cos (\ theta +2 \ pi / 3)] — \ rho \ sin \ phi [\ cos \ theta + \ cos (\ theta +2 \ pi / 3)] = > ~ c ~ \ cos \ phi>

Использование тригонометрических тождеств для суммы и разности косинусов и перестановки дает нам выражение функции текучести Мора – Кулона через . ξ , ρ , θ

Мы можем выразить функцию доходности в терминах , используя соотношения п , q

ξ знак равно 3 п ; ρ знак равно 2 3 q > ~ p ~; ~~ \ rho = >> ~ q>

Податливость и пластичность Мора – Кулона

Поверхность текучести Мора – Кулона часто используется для моделирования пластического течения геоматериалов (и других материалов, связанных с трением). Многие такие материалы демонстрируют дилатационное поведение при трехосных напряжениях, которые не учитываются в модели Мора – Кулона. Кроме того, поскольку поверхность текучести имеет углы, может быть неудобно использовать исходную модель Мора – Кулона для определения направления пластического течения (в теории пластичности течения ).

Распространенным подходом является использование гладкого не связанного потенциала пластического течения. Примером такого потенциала является функция

грамм знак равно ( α c у загар ⁡ ψ ) 2 + грамм 2 ( ϕ , θ ) q 2 — п загар ⁡ ϕ > \ tan \ psi) ^ + G ^ (\ phi, \ theta) ~ q ^ > > -p \ tan \ phi>

где — параметр, — значение, когда пластическая деформация равна нулю (также называемая начальным пределом текучести когезии ), — угол, образующий поверхность текучести в плоскости Rendulic при высоких значениях (этот угол также называется углом растяжения). ), и является подходящей функцией, которая также является гладкой в ​​плоскости девиаторных напряжений. α c у >> c ψ п грамм ( ϕ , θ )

Типичные значения сцепления и угла внутреннего трения

Значения когезии (также называемой прочностью сцепления ) и угла трения для горных пород и некоторых распространенных грунтов перечислены в таблицах ниже.

Прочность сцепления (c) для некоторых материалов

Материал	Прочность сцепления в кПа	Прочность сцепления в фунтах на квадратный дюйм
Рок	10 000	1450
Ил	75	10
Глина	От 10 до 200	1,5 к 30
Очень мягкая глина	От 0 до 48	От 0 до 7
Мягкая глина	48 к 96	7 к 14
Средняя глина	96 к 192	С 14 до 28 год
Жесткая глина	192 к 384	28 к 56
Очень жесткая глина	384 к 766	28 к 110
Твердая глина	> 766	> 110

Угол внутреннего трения ( ) для некоторых материалов ϕ

Материал	Угол трения в градусах
Рок	30 °
Песок	30 ° до 45 °
Гравий	35 °
Ил	26 ° до 35 °
Глина	20 °
Рыхлый песок	30 ° до 35 °
Средний песок	40 °
Плотный песок	От 35 ° до 45 °
Песчаный гравий	> 34 ° до 48 °

Смотрите также

• Трехмерная эластичность
• Критерий несостоятельности Хука – Брауна
• Закон Байерли
• Боковое давление грунта
• фон Мизес стресс
• Доходность (инженерная)
• Критерий текучести Друкера-Прагера — гладкая версия критерия текучести M – C
• Координаты Лоде

использованная литература

1. ^ Ювинал, Роберт С. и Маршек, Курт .; Основы проектирования узлов машин. — 2-е изд., 1991, стр. 217, ISBN0-471-62281-8
2. Перейти ↑ Coulomb, CA (1776). Essai sur une application des regles des maximis et minimis a quelquels issuesde statique relatifs, как архитектура. Mem. Акад. Рой. Div. Сав., Т. 7. С. 343–387.
3. ^ Staat, M. (2021) Критерий Мора – Кулона типа деформации растяжения. Rock Mech. Rock Eng., DOI: 10.1007 / s00603-021-02608-7.
4. ^ АМИР Р. ХОЕЙ; Расчетная пластичность в процессах порошкообразования ; Эльзевир, Амстердам; 2005; 449 с.
5. ^ МАО-ХОНГ Ю; « Развитие теорий прочности материалов в условиях сложного напряженного состояния в ХХ веке »; Обзоры прикладной механики ; Американское общество инженеров-механиков, Нью-Йорк, США; May 2002; 55 (3): стр. 169–218.
6. ^ НИЛЬС САБЬЕ ОТТОСЕН и МАТТИ РИСТИНМАА; Механика конститутивного моделирования ; Elsevier Science, Амстердам, Нидерланды; 2005; С. 165 и далее.
7. Перейти ↑ Coulomb, CA (1776). Essai sur une application des regles des maximis et minimis a quelquels issuesde statique relatifs, как архитектура. Mem. Акад. Рой. Div. Сав., Т. 7. С. 343–387.

Источник