Метод начальных параметров метод мора

Решение задач

Для шарнирно опертой балки (рис.1.5,а) построим эпюры Q и М и подберем сечение из условия прочности в виде стального прокатного двутавра. Определим с помощью метода начальных параметров и метода Мора значения

рогибов и углов поворота в характерных сечениях балки и построим эпюры v и . Определим числовые значения v_нб и _нб. В расчетах примем R = = 21 кН/см 2 , Е = 2,110 4 кН/см 2 , _f = 1,2 и _с = 0,9.

Определяем опорные реакции

М_А = 0, 10 – 151 – 1032,5 +

+ 4R_B = 0, R_B = 20 кН ;

М_В = 0, 10 + 153 + 1031,5 –

– 4R_А = 0, R_А = 25 кН ;

Y = 0 (проверка), 15 + 103 –

пределяем значения изгибающих моментов и поперечных сил в характерных сечениях балки и строим эпюры Q и М (рис.1.5,б,в). Определяем экстремальное значение М_max в пролете. Из пропорции находим положение сечения,

где действует максимальный момент.

, х₀ = 2 м ;

Определяем расчетное значение наибольшего изгибающего момента.

Требуемый момент сопротивления сечения равен:

По сортаменту принимаем: I18, W_z = 143 см 3 , J_z = 1290 см 4 .

Составим с помощью формулы (1.3) выражение для прогиба балки в пределах трех характерных участков.

Начальные параметры равны:

х = 0, М₀ = –10 кНм, Q₀ = 0.

Для определения неизвестных начальных параметров v₀ и ₀ используем граничные условия:

;

.

Решаем систему алгебраических уравнений.

качестве проверки вычислим значения v₀ и ₀ с помощью метода Мора. Построим единичные эпюры изгибающих моментов (рис.1.6,а,б) и вычислим интегралы Мора с помощью правила А.К. Верещагина, то есть «перемножим» единичные эпюры с эпюрой моментов от действия заданных нагрузок М = М_Р

Результаты определения v₀ и ₀ с помощью метода начальных параметров и метода Мора практически совпали. Запишем окончательные выражения для vх и х.

Вычислим значения v и  в характерных сечениях балки.

(граничное условие),

(граничное условие),

В качестве проверки вычислим некоторые значения v и  с помощью метода Мора. Соответствующие единичные эпюры приведены на рис.1.7,а,б.

Результаты вычислений практически совпали. Строим эпюры v и , отметив их особенности (рис.1.5, г, д). Ординаты эпюр умножены на жесткость ЕJ.

сечении, где Q обращается в нуль, на эпюре  имеется точка перегиба. В сечении, где М = 0 (участок 2) на эпюре  имеется экстремум _max, а на эпюре v – точка перегиба. В сечении, где  = 0 (участок 3) прогиб имеет экстремальное значение v_max .

В пределах участка 1  изменяется по линейному закону. В сечении В касательная к эпюре  параллельна оси.

Определим числовые значения v и  . Размерность длины в числителе переведём в сантиметры.

Для балки с промежуточным шарниром (рис.1.8,а) определим значения поперечных сил, изгибающих моментов, прогибов и углов поворота в характерных сечениях и построим эпюры этих величин.

Разбиваем балку на несомую ВС и несущую АВ части (балки). Производим статический расчет несомой балки ВС (рис.1.8,б).

М_В = 0, –1431,5 – 12 + 5R_С = 0, R_С = 15 кН ;

М_С = 0, 1433,5 – 12 – 5R_В = 0, R_В = 27 кН ;

Y = 0 (проверка), 143 – 27 – 15 = 42 – 42 = 0 .

Эпюры Q и М приведены на рис.1.8,в,г.

Определяем экстремальное значение изгибающего момента в пролете ВС.

х₀ = 1,93 м ;

Запишем выражение для прогиба балки с помощью метода начальных параметров.

Начальные параметры равны:

М₀ = – 24 кНм, Q₀ = 12 кН .

ля определения неизвестного скачка угла поворота _В в промежуточном шарнире используем граничное условие:

В качестве проверки определим значение _В с помощью метода Мора. Поскольку _В представляет собой взаимное угловое перемещение (угол поворота правого сечения в шарнире В относительно левого сечения), приложим в сечении В парный единичный момент. Соответствующая единичная эпюра изгибающих моментов приведена на рис.1.9.

«Перемножаем» единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов.

Результаты вычисления практически совпали. Запишем окончательные выражения для vх и х.

Вычислим значения v и  в характерных сечениях балки.

(граничное условие),

качестве проверки определим некоторые значения и  с помощью метода Мора. Соответствующие единичные эпюры приведены на рис.1.10, 1.11 и 1.12.

Результаты вычислений практически совпали. Эпюры и  приведены на рис.1.8,д,е. Отметим их особенности. В сечении В угол поворота имеет скачок, а касательные к эпюре  параллельны оси. На эпюре в этом сечении излом и смена знака кривизны. В сечении, где Q обращается в ноль, на эпюре  точка перегиба. В сечении на третьем участке, где М = 0, угол поворота имеет экстремальное значение _min, а на эпюре имеется точка перегиба. В сечении на втором участке, где  = 0, прогиб имеет экстремальное значение _max.

Для балки (рис.1.13,а) построим эпюры Q и М и определим прогиб и угол поворота в сечении С. Данная балка является статически неопределимой, поскольку для определения трех опорных реакций R_А, R_В и М_В можно использовать два уравнения равновесия Y = 0 и М = 0.

Составим выражение для прогиба балки с помощью метода начальных параметров.

х = 0, ₀ = 0, М₀ = 0.

Для определения неизвестных начальных параметров ₀ и Q₀ используем граничные условия:

х = 5 м, = 0,  = 0.

Составим выражение для углов поворота (х) и раскроем граничные условия

Решаем систему алгебраических уравнений.

Определяем значения Q и М в характерных сечениях балки.

Q_А = Q_С = R_А = 8,26 кН , Q_В = 8,26 – 183 = – 45,74 кН ,

М_А = М₀ = 0, М_С = 8,262 = 16,52 кНм,

М_В = 8,265 – 1831,5 = – 39,7 кНм .

Эпюры Q и М приведены на рис.1.13,б,в. Определяем экстремальное значение момента.

Определяем прогиб и угол поворота в сечении С.

Для консольной рамы со стержнями различной жесткости (рис.1.14,а) определим с помощью метода Мора перемещения точки К.

Построим грузовую и единичные эпюры изгибающих моментов (рис. 1.14,б,в,г,д). Поскольку при определении перемещений в балках и рамах используется интеграл Мора, содержащий изгибающие моменты, построение эпюр Q и N не обязательно. Для определения вертикального и горизонтального перемещений точки К в этом сечении приложены единичные силы , а для определения угла поворота – приложен единичный момент .

«Перемножаем» грузовую и единичные эпюры в пределах длины каждого стержня и суммируем результаты.

Источник

7.2. Примеры расчета перемещений в балках методом начальных параметров Пример

Для заданной балки (рис. 7.4, а) подобрать стандартный двутавр из условия прочности. Определить углы поворота и прогибы в различных сечениях, построить эпюры θ и v; = 160 МПа,E = МПа, M = 40 , F = 80 кН, q = 20 кН/м, l = 4м, a = 1 м.

Решение

1. Определение реакций на опорах, анализ внутренних силовых факторов, подбор сечения. , – M – F(a + l) – + – 40 – , , – M – = –40 – Проверка: Анализ внутренних силовых факторов, подбор сечения: Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов представлены на рис. 7.4, в, г. Из условия прочности по нормальным напряжениям подбираем сечение: , По ГОСТ 8239–89 ближайший номер двутавра № 40 с =953 см 3 , = 19062 см 2 . 2. Выбор начала координат в левом краевом сечении, запись универсальных уравнений для последнего участка (рис. 7.4, б). , 3. Определение начальных параметров , при , т.е. при Окончательные уравнения имеют вид: 4. Определение углов поворотов и перемещений в различных сечениях. , , , По расчетным данным построены эпюры углов поворотов θ и перемещений v (рис. 7.4 д, е). Закономерности эпюр θ и v вытекают из дифференциальных зависимостей (7.7): а) на участках, где = 0, касательная к кривой θ =f(z) параллельна оси абсцисс. Там, где на эпюре моментов скачок, на эпюре θ наблюдается излом; б) если на протяжении какого-либо участка изгибающий момент равен нулю, то эпюра θ прямоугольна, а эпюра v выражена прямой наклонной линией; в) на участках, где изгибающий момент постоянный, эпюра θ – прямая наклонная линия, эпюра v – парабола второго порядка; г) вогнутость на криволинейных участках эпюры θ направлена в сторону эпюры Q_y (рис. 7.4 в, д). Вогнутость на криволинейных участках эпюры v направлена в сторону изгибающего момента M_x (рис. 7.4 г, е); д) в тех сечениях, где θ = 0, на эпюре v наблюдается аналитический максимум или минимум; е) в сечениях балки, где есть промежуточные шарниры, на эпюре θ будут скачки, на эпюре v – изломы.

7.3. Определение перемещений методом Мора

Практическое применение метода начальных параметров, также как и непосредственное интегрирование дифференциального уравнения упругой линии для некоторых систем имеет сложности. В практике обычно возникает необходимость оценки перемещений в конкретных сечениях конструктивных элементов. Эту задачу успешно решил немецкий ученый Отто Христиан Мор в 1874 г. Метод Мора является универсальным методом определения линейных и угловых перемещений, возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки. В большинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах, в арках можно пренебречь влиянием продольных деформаций и деформаций от сдвига, учитывая лишь перемещения, вызываемые только изгибом и кручением. В этом случае для плоской системы интеграл Мора имеет вид (7.10) В случае пространственного нагружения (7.11) В случае растяжения или сжатия сохраняется лишь член, содержащий продольную силу: (7.12) Для системы, испытывающей только кручение, (7.13) В формулах (7.10)–(7.13) ,,– грузовые внутренние силовые факторы наi—м участке: соответственно изгибающий момент, продольная сила и крутящий момент от внешней нагрузки; ,,– единичные силовые факторы – соответственно изгибающий момент, продольная сила, крутящий момент наi—м участке от силы, равной единице, приложенной в том сечении, где необходимо найти линейное перемещение, или от момента, равного единице, приложенного в сечении определения углового перемещения; – длинаi—го участка; – модуль сдвига,– модуль продольной упругости,,,– площадь, момент инерции (при круглом сечении=где– полярный момент инерции),– осевой момент инерции сечения наi—м участке. Методика определения перемещений методом Мора может быть сведена к следующим пунктам. 1. Определяют реакции на опорах, разбивают систему на участки, выбирают направление обхода участков, записывают выражения для грузовых силовых факторов на i—х участках: ,,. 2. Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичной нагрузкой в точке, где необходимо определить перемещение. При определении линейного перемещения в заданном направлении прикладывают единичную силу, при определении углового перемещения – единичный момент. 3. Определяют реакции на опорах для вспомогательной системы и, соблюдая тот же обход участков, что и в грузовом состоянии, записывают на i—х участках ,,. 4. Вычисляют интегралы Мора по участкам в пределах всей системы. В соответствии с вышеуказанным при расчете плоских балок, рам и арок исходят из зависимости (7.10), при расчете ферм – из (7.12), при кручении – из (7.13). 5. Если искомое перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичной силы; если отрицательный знак – действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичной силы.

Источник