Метод интеграла мора примеры

7.5. Вычисление интегралов Мора по способу Симпсона

Применение метода Мора, как мы уже сумели убедиться, требует вычисления интегралов в процессе определения перемещений. В большинстве случаев при наличии большого числа участков, на которые приходится делить конструкцию, решение становится громоздким. Поэтому в практике расчетов предпочитают иметь дело с графо-аналитическими методами, позволяющими исключить интегрирование из процесса определения перемещений. Такие методы бывают не всегда точны и универсальны, но их простота и доступность делает их весьма популярными. К числу таких методов относится метод Мора-Симпсона. Еще в XVIII веке английским математиком Томасом Симпсоном было предложено вычислять интегралы графическим методом, исходя из того, что интеграл представляет в пределе сумму бесконечно малых величин. Симпсон предложил разбивать площадь фигуры, образовавшуюся под кривой подинтегральной функции, на узкие полоски и суммировать площади этих полосок. Им были сформулированы соответствующие рекомендации и предложены различные формулы, позволяющие упорядочить процесс подобного интегрирования. Сложность этих формул зависела от сложности подинтегрального выражения. В большинстве случаев предложенный им подход к интегрированию дает погрешности, но существуют такие функции, интегрирование которых по способу Симпсона дает точное решение. Речь идет о гладких унимодальных функциях, порядок которых не превышает трех.

Исследуя функции, входящие в формулу Мора, можно сделать вывод, что функции изгибающих моментов, составленных для единичных состояний всегда линейны. При действии на балку распределенной нагрузки постоянной интенсивности изгибающий момент описывается кривой второго порядка. При перемножении этих функций под интегралом Мора мы получаем кривую третьего порядка. Это означает, что, если ограничить класс решаемых задач балками и рамами, нагруженными сосредоточенными силами и распределенной нагрузкой постоянной интенсивности, то при использовании для определения перемещений метода Мора-Симпсона можно получать точное решение.

Рассмотрим интегрирование по способу Симпсона функции, описываемой кубической параболой, приведенной на рис.7.10.

Формула, которой предлагается пользоваться в этом случае, имеет вид:

. (7.32)

На рис 7.11 приведены грузовая (а) и единичная (б) эпюры изгибающих моментов для одного участка.

Буквами А, С и В обозначены изгибающие моменты на левом конце участка, посредине и на правом конце участка на грузовой эпюре. Буквами а, c и b обозначены изгибающие моменты на левом конце участка, посредине и на правом конце участка на единичной эпюре.

Интеграл Мора для одного участка имеет вид:

. (7.33)

Произведение моментов под интегралом обозначим:

. (7.34)

Применяя формулу Симпсона к интегралу Мора после соответствующих замен и подстановок, получим:

.

При решении задач с несколькими участками формула Мора-Симпсона принимает вид:

. (7.35)

В том случае, если обе эпюры изгибающих моментов, грузовая и единичная, меняются по линейному закону и представляют собой на каждом из участков трапеции, можно исключить средние значения моментов и, учитывая, что они могут быть вычислены из выражений:

; .

Подставляя эти значения в формулу (7.35), получаем формулу трапеций:

(7.36)

Если обе эпюры представляют собой прямоугольники или треугольники, удобно пользоваться формулой, которая легко получается из формулы (7.35):

(7.37)

Формула (7.37) получила название формулы треугольников. Здесь  коэффициент, величина которого зависит от вида перемножаемых эпюр (Таблица 7.1);  самый большой изгибающий момент на грузовой эпюре;  самый большой изгибающий момент на единичной эпюре;  длина участка. В таблице 7.1 приводятся значения коэффициентов .

Значение коэффициента

Вид эпюры

Вид эпюры

Метод Мора-Симпсона называют методом перемножения эпюр. Рассмотрим порядок решения задач методом Мора-Симпсона.

1. Разбиваем балку на участки и на каждом участке проставляем по три характерных сечения: на левом конце, посредине и на правом конце участка.

2. Вычисляем значения грузовых моментов в каждом из характерных сечений и строим эпюру грузовых изгибающих моментов .

3. Изображаем единичное состояние системы, прикладывая в том сечении, где следует определить перемещение, соответствующую единичную обобщенную силу: при определении прогиба прикладывают сосредоточенную единичную силу; при определении угла поворота прикладывают сосредоточенную единичную пару сил.

4. Вычисляем значения единичных моментов в характерных сечениях и строим эпюру единичных моментов . Эпюр единичных моментов строим столько, сколько следует определить перемещений.

5. Подставляем вычисленные значения грузовых и единичных изгибающих моментов в формулу Мора-Симпсона и вычисляем перемещения.

6. Знак перемещения будет положительным, если искомое перемещение совпадает с направлением соответствующей обобщенной единичной силы. Если направление перемещения и направление обобщенной единичной силы не совпадают, знак перемещения будет отрицательным.

Рассмотрим несколько примеров определения перемещений в стержневых системах по методу Мора-Симпсона.

Пример 7.5.Используя метод Мора-Симпсона, определить угол поворота в сечении В изображенной на рис.7.12,а балки, если жесткость поперечного сечения балкикНм 2 .

1. Балка (Рис.7.12,а) содержит один участок. Проставляем характерные сечения и вычисляем в каждом из них грузовые моменты. Значения моментов в характерных сечениях проставлены на рис.7.12,б. Опорные реакции в данной задаче можно не определять, изгибающие моменты можно определить, производя вычисления справа.

2. Строим эпюру грузовых изгибающих моментов .

3. Изображаем единичное состояние балки, прикладывая в сечении В единичный момент (Рис.7.12,в). Находим величины единичных изгибающих моментов в характерных сечениях. Значения этих моментов проставлены на рис.7.12,г.

1. Строим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.7.12,г).

5. Подставляя найденные значения грузовых и единичных изгибающих моментов в формулу Мора-Симпсона (7.35), находим угол поворота сечения В: рад. Пример 7.6.Определить вертикальное и горизонтальное перемещения сечения В рамы, изображенной на рис.7.13,а, если жесткость поперечного сечения рамыкНм 2 . Рис.7.13 Решение: 1. Разбиваем раму на участки, расставляем характерные сечения и выбираем точку наблюдения (Рис.7.13,а). 2. Определяем грузовые моменты в характерных сечениях и строим эпюру грузовых изгибающих моментов (Рис.7.13,б). 3. Изображаем первое единичное состояние (Рис.7.13,в), определяем моменты в характерных сечениях и строим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.7.13,г). 4. Изображаем второе единичное состояние (Рис.7.13,д), определяем моменты в характерных сечениях и строим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.7.13,е). 5. Находим вертикальное перемещения узла В, перемножая эпюры изгибающих моментов и. Поскольку обе эпюры изгибающих моментов являются линейными, при перемножении эпюр воспользуемся формулами трапеций (7.36) и треугольников (7.37). На участке №1 будем перемножать эпюры с помощью формулы трапеций, на участках №2 и №3 – с помощью формулы треугольников: ммм. Перемещение получилось положительным. Это означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы . 6. Находим горизонтальное перемещение узла В, перемножая эпюры изгибающих моментов и. Так же, как и в предыдущем пункте будем использовать при перемножении эпюр формулы трапеций и треугольников: ммм. Горизонтальное перемещение оказалось отрицательным. Это означает, что узел В в горизонтальном направлении перемещается не влево, куда изначально была направлена единичная сила, а вправо, что соответствует физическому смыслу задачи.

Источник

Определение прогибов и углов поворотов методом Мора

Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.

Получение формулы интеграла Мора

Рассмотрим балку, изображенную на рис. 15.6, а. Обозначим и , соответственно, изгибающий момент и поперечную силу, возникающие в заданной балке от действующей на нее группы нагрузок P. Пусть требуется определить прогиб балки () в точке K.

Введем в рассмотрение вспомогательную балку (та же балка, но нагруженная только единичной силой либо единичным изгибающим моментом). Нагрузим ее только одной силой (рис. 15.6, б). Единичную силу приложим в точке K, где нужно определить прогиб.

Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной балке, обозначим и .

Воспользуемся теперь теоремой о взаимности работ, согласно которой работа внешних сил, приложенных к вспомогательной балке на соответствующих перемещениях заданной балки равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил заданной балки на соответствующих перемещениях вспомогательной балки. Тогда .

При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием поперечной силы, ( не учитывать второе слагаемое).

Тогда, учитывая, что , окончательно получим формулу интеграла Мора : .

Определение перемещений по формуле интеграла Мора часто называют определением перемещений методом Мора , а саму формулу – интегралом Мора .

Входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z.

Заметим, что если мы хотим в этой же точке K определить угол поворота поперечного сечения (), то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, а единичный момент (рис. 15.6, в).

порядок вычисления перемещений методом Мора:

· к вспомогательной балке в той точке, где требуется определить перемещение, прикладываем единичное усилие. При определении прогиба прикладываем единичную силу , а при определении угла поворота – единичный момент ;

· для каждого участка балки составляем выражения для изгибающих моментов заданной () и вспомогательной () балок;

· вычисляем интеграл Мора для всей балки по соответствующим участкам;

· если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного усилия. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия.

Вычисление интеграла Мора пример

Пусть для шарнирно опертой балки постоянной изгибной жесткости , длиной l, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 15.7, а), требуется определить прогиб посредине пролета () и угол поворота на левой опоре ().

определение прогиба с помощью интеграла Мора

В том месте, где нам нужно определить прогиб, к вспомогательной балке прикладываем единичную силу (рис. 15.7, б).

Записываем выражения для изгибающих моментов для каждого из двух участков () заданной и вспомогательной балок:

.

.

Вычисляем интеграл Мора . Учитывая симметрию балки, получим:

.

Определение угла поворота методом Мора

Нагружаем вспомогательную балку единичным моментом , прикладывая его в том месте, где мы ищем угол поворота (рис. 15.7, в).

Записываем выражения для изгибающих моментов в заданной и вспомогательной балках только для одного участка ():

;

.

Тогда интеграл Мора будет иметь вид:

.

Положительный знак в выражении для угла поворота поперечного сечения балки указывает на то, что поворот сечения происходит по направлению единичного момента .

Источник