Интеграл мора решение задач

Пример 2 Условие задачи

В балке с двумя консолями, показанной на рис. 4.21, а надо найти угол поворота сечения А и прогиб сечения D, используя аналитический способ. Сечение балки – двутавр № 24.

Решение

Выберем начало отсчета координаты х на левом конце балки в точке А и запишем выражение для изгибающего момента на всех участках с учетом правил Клебша :

.

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение изогнутой оси (4.16) и проинтегрируем его дважды:

Рис. 4.21. К решению примера 2 аналитическим способом:

а – схема балки с нагрузками;

б – эпюры внутренних усилий;

в – изогнутая ось балки

;

.

Найдем произвольные постоянные С и D из граничных условий. В точках В и С, где находятся опоры, прогибы не возможны. Поэтому

,

.

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными С и D. Решая эту систему, найдем С = 40 кН·м 2 , D = – 40 кН·м 3 . Проанализируем результат, используя геометрический смысл произвольных постоянных С и D. На рис. 4.21, в показана изогнутая ось балки, соответствующая эпюре изгибающих моментов и условиям закрепления. Точка А, находящаяся в начале координат, перемещается вверх, и поэтому следует ожидать, что будет иметь в соответствии с правилом знаков отрицательный знак. Сечение в точке А поворачивается по часовой стрелке, поэтому постоянная должна быть положительна. Полученные знаки С и D не противоречат проведенному анализу.

Теперь можно найти искомые перемещения. Угол поворота сечения А определим, подставив в выражение для на первом участке значение х = 0, то есть

кН·м 2 .

Чтобы найти прогиб в точке D, в выражение для прогибов подставляем м, используя все слагаемые этого выражения, так как точка находится на последнем третьем участке:

кН·м 3 .

Разделим полученные результаты на жесткость балки, чтобы сосчитать угол поворота в радианах, а прогиб в сантиметрах. Жесткость стальной двутавровой балки № 24:

кН·см 2 .

Угол поворота сечения А

рад.

см.

Положительные знаки полученных перемещений свидетельствуют о том, что поворот сечения А происходит по часовой стрелке, а точка D перемещается вниз. Изогнутая ось балки с найденными перемещениями и точкой перегиба показана на рис. 4.21, в.

Определение перемещений в балке методом Максвелла – Мора

Найдем перемещения – прогиб сечения С и угол поворота сечения В в балке, показанной на рис. 4.20, а, методом Максвелла – Мора и сравним их с теми же перемещениями, найденными ранее аналитическим способом.

В соответствии с методом Максвелла – Мора перемещения находим по формуле (4.21). Рассмотрим два варианта использования этой формулы:

• аналитическое интегрирование формулы;
• интегрирование с помощью правила Верещагина.

Вариант 1. Аналитическое интегрирование формулыМаксвелла – Мора Для определения перемещений по формуле (4.21) выпишем выражения для изгибающих моментов в балке от заданной нагрузки на каждом участке балки. Начало координат х можно выбирать произвольным образом, например, так, как показано на рис. 4.22, а. Тогда выражения для изгибающих моментов на трех участках будут такими: Рис. 4.22. К решению примера 1 методом Максвелла – Мора: а – заданная нагрузка на балку; б – обобщенная сила, соответствующая углу поворота в точке В; в – обобщенная сила, соответствующая прогибу в точке С участок 1: ; ; участок 2: ; ; участок 3: ; . Найдем сначала угол поворота сечения В балки. Загрузим балку в сечении В единичной обобщенной силой, соответствующей искомому перемещению, то есть парой сил, равной единице (рис. 4.22, б). Запишем выражения для изгибающих моментов на каждом участке от единичной пары сил. Начало отсчета координаты х должно быть таким же, как при записи выражений для изгибающих моментов от заданной нагрузки (см. рис. 4.22, б). Тогда: участок 1: ; ; участок 2: ; ; участок 3: ; . Подставим записанные выражения в интеграл Максвелла – Мора (4.21) и проинтегрируем (на первых двух участках интегралы в рассматриваемом примере равны нулю): = . Чтобы найти прогиб сечения С , приложим в точке С новую единичную обобщенную силу – сосредоточенную силу, положив ее равной единице (рис. 4.22, в). Выражения для изгибающих моментов на каждом участке от единичной сосредоточенной силы будут такими: участок 1: ; ; участок 2: ; ; участок 3: ; . После подстановки функций и в интеграл (4.21) и интегрирования на каждом участке получим Величины найденных перемещений совпадают с результатами, полученными ранее аналитическим способом, а знак у угла поворота другой. Это следствие разных правил знаков в аналитическом методе и методе Максвелла – Мора. Обсудим полученные знаки перемещений. Положительный знак угла поворота показывает, что поворот происходит по направлению обобщенной силы. Поскольку единичная пара принята направленной по часовой стрелке, то и сечение В поворачивается по часовой стрелке. Отрицательный знак прогиба означает, что сечение С перемещается в сторону, противоположную принятому направлению единичной силы, то есть вверх. Таким образом, результаты решения полностью совпадают с полученными ранее аналитическим методом. Вариант 2. Интегрирование формулы Максвелла – Мора с помощью правила Верещагина Как отмечалось раньше, процесс интегрирования формулы Максвелла – Мора с помощью правила Верещагина (или Симпсона) называется «перемножением эпюр». Чтобы «перемножить эпюры», построим их. Сначала построим эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (рис. 4.23, а). Разобьем эпюру М на 6 простых фигур: три треугольника , и , два сегмента, ограниченных квадратной параболой, и и трапецию . Порядок разбивки эпюры моментов на составляющие фигуры на втором участке поясняет рис. 4.24 9 . Найдем площади этих фигур: кН·м 2 , кН·м 2 , кН·м 2 , кН·м 2 , кН·м 2 , кН·м 2 . Рис. 4.23. Эпюры моментов: а – от заданной нагрузки; б – от единичной обобщенной силы, соответствующей углу поворота сечения В; в – от единичной обобщенной силы, соответствующей прогибу в точке С. Для определения площадей и использована формула (4.23). Затем строим эпюры моментов от единичных обобщенных сил, соответствующих искомым перемещениям. Чтобы определить угол поворота сечения В, приложим в точке В балки пару сил, равную единице, и построим эпюру изгибающих моментов М₁ от этой пары сил (рис. 4.23, б). Найдем ординату под центром тяжести площади . Независимо от положения центра тяжести трапеции (а оно не определено) ордината под центром тяжести равна единице, так как изгибающий момент М₁ на участке перемножения является постоянной величиной, всюду равной единице. То есть . Поскольку на всех остальных участках изгибающий момент М₁ = 0 и , то по формуле (4.22) искомое перемещение Рис. 4.24. Разбивка эпюры М на втором участке на три площади . Полученная величина угла поворота совпадает с найденной ранее аналитическим методом. Положительный знак говорит о том, что поворот сечения В происходит по направлению обобщенной силы, то есть в соответствии с принятым на рис. 4.23, б направлением единичной пары по часовой стрелке. Теперь будем искать прогиб сечения С. Загрузим балку новой обобщенной силой, соответствующей прогибу в точке С. Такой обобщенной силой будет сосредоточенная сила, равная единице и приложенная в точке С. Эпюра изгибающих моментов М₂ от этой единичной силы показана на рис. 4.23, в. Согласно формуле (4.22) искомый прогиб . Найдем ординаты на эпюре М₂, расположенные под центрами тяжести шести фигур, на которые разбита эпюра М. Положение центров тяжестей всех фигур, кроме , показано на рис. 4.23, а. Ординату на эпюре М₂, расположенную под центром тяжести какой-то фигуры, можно найти либо из подобия треугольников, либо как изгибающий момент от единичной силы под центром тяжести рассматриваемой фигуры. Используем второй вариант вычисления ординат. Изгибающий момент под центром тяжести треугольника равен значению силы (1), расположенной слева от сечения, умноженной на плечо ( м), со знаком минус. То есть м. Аналогично ордината под центром тяжести треугольника равна силе (1), умноженной на плечо (2 +2/3 = 8/3 м), со знаком минус. И так же для остальных фигур, положение центров тяжести которых известно: м, м, м, м. Поскольку положение центра тяжести трапеции не определено и невозможно в этом случае найти ординату под центром тяжести, воспользуемся на этом участке формулой перемножения трапеций (4.24): кН·м 3 . Искомое перемещение – прогиб в точке С. Результат совпадает с найденным ранее прогибом в точке С аналитическим способом. Отрицательный знак перемещения показывает, что точка С перемещается в сторону, противоположную выбранному направлению единичной силы (см. рис. 4.23, в), то есть вверх.

Источник

Определение прогибов и углов поворотов методом Мора

Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.

Получение формулы интеграла Мора

Рассмотрим балку, изображенную на рис. 15.6, а. Обозначим и , соответственно, изгибающий момент и поперечную силу, возникающие в заданной балке от действующей на нее группы нагрузок P. Пусть требуется определить прогиб балки () в точке K.

Введем в рассмотрение вспомогательную балку (та же балка, но нагруженная только единичной силой либо единичным изгибающим моментом). Нагрузим ее только одной силой (рис. 15.6, б). Единичную силу приложим в точке K, где нужно определить прогиб.

Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной балке, обозначим и .

Воспользуемся теперь теоремой о взаимности работ, согласно которой работа внешних сил, приложенных к вспомогательной балке на соответствующих перемещениях заданной балки равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил заданной балки на соответствующих перемещениях вспомогательной балки. Тогда .

При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием поперечной силы, ( не учитывать второе слагаемое).

Тогда, учитывая, что , окончательно получим формулу интеграла Мора : .

Определение перемещений по формуле интеграла Мора часто называют определением перемещений методом Мора , а саму формулу – интегралом Мора .

Входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z.

Заметим, что если мы хотим в этой же точке K определить угол поворота поперечного сечения (), то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, а единичный момент (рис. 15.6, в).

порядок вычисления перемещений методом Мора:

· к вспомогательной балке в той точке, где требуется определить перемещение, прикладываем единичное усилие. При определении прогиба прикладываем единичную силу , а при определении угла поворота – единичный момент ;

· для каждого участка балки составляем выражения для изгибающих моментов заданной () и вспомогательной () балок;

· вычисляем интеграл Мора для всей балки по соответствующим участкам;

· если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного усилия. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия.

Вычисление интеграла Мора пример

Пусть для шарнирно опертой балки постоянной изгибной жесткости , длиной l, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 15.7, а), требуется определить прогиб посредине пролета () и угол поворота на левой опоре ().

определение прогиба с помощью интеграла Мора

В том месте, где нам нужно определить прогиб, к вспомогательной балке прикладываем единичную силу (рис. 15.7, б).

Записываем выражения для изгибающих моментов для каждого из двух участков () заданной и вспомогательной балок:

.

.

Вычисляем интеграл Мора . Учитывая симметрию балки, получим:

.

Определение угла поворота методом Мора

Нагружаем вспомогательную балку единичным моментом , прикладывая его в том месте, где мы ищем угол поворота (рис. 15.7, в).

Записываем выражения для изгибающих моментов в заданной и вспомогательной балках только для одного участка ():

;

.

Тогда интеграл Мора будет иметь вид:

.

Положительный знак в выражении для угла поворота поперечного сечения балки указывает на то, что поворот сечения происходит по направлению единичного момента .

Источник