Интеграл мора определить угол прогиба

Определение перемещений с помощью интеграла Мора

Определим, например, прогиб в точке С оси балки, нагруженной некоторой системой внешних поперечных сил и пар. Для упрощения промежуточных выкладок представим всю эту нагрузку одной сосредоточенной силой Р (рис. 8.27). Обозначим через δ PP прогиб балки в точке приложения силы Р , а через δ CP — искомый прогиб от этой силы в точке С.

При статическом приложении к балке сила Р произведет работу

Потенциальная энергия деформации для первого состояния балки, если пренебречь влиянием перерезывающих сил Q на прогибы, может быть подсчитана по формуле (8.22), т. е.

Составляя баланс энергий A = U , получаем

Поступим далее следующим образом. Снимем с балки всю заданную нагрузку и приложим статически в сечении С в направлении искомого прогиба вспомогательную силу, равную по величине единице измерения силы, например, 1Н. От этой единичной нагрузки в сечениях балки возникнут изгибающие моменты M z 1 , а точка C в процессе деформации балки пройдет путь δ C 1 (см. рис. 8.27). Баланс энергий во втором состоянии балки запишется так

Рассмотрим третье состояние, когда к балке, уже нагруженной вспомогательной единичной силой, прикладывается еще и заданная нагрузка Р (см. рис. 8.27). Эта нагрузка вызовет дополнительные деформации балки, причем согласно принципу независимости действия сил дополнительные прогибы будут такими же, как и в первом из рассмотренных состояний балки, когда она нагружена только силой Р . Поэтому работа внешних сил, если подсчитывать ее в последовательности их приложения,

У последнего слагаемого множитель 1/2 отсутствует потому, что к моменту приложения заданной нагрузки единичная сила достигла уже своего конечного значения и в процессе перемещения δ CP величины своей не изменяет (рис. 8.28).

Изгибающие моменты в сечениях балки в ее третьем состоянии равны суммам изгибающих моментов M z от заданных нагрузок и M z 1 от единичной силы, а потенциальная энергия деформации

Баланс энергий в третьем состоянии

Учитывая выражения для балансов энергий в первом и втором состояниях, получаем

Чтобы левая часть равенства представляла собой непосредственно искомый прогиб балки, нужно разделить обе части этого равенства на вспомогательную единичную силу или считать ее безразмерной. В обоих случаях получаем для определения прогибов балки выражение

где M z 1 имеет размерность длины.

Задача определения угла поворота сечения С приводит к тому же выражению (8.43). Отличие заключается в том, что в этом случае в сечении С надо прикладывать в направлении искомого углового перемещения единичный момент, а под δ CP понимать угол поворота сечения в радианах.

В выражении (8.43) интеграл должен быть распространен на всю длину балки. Если балка имеет п участков с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов M z ( x ) и M z 1 ( x ) , то в правой части будет стоять сумма интегралов по всем п участкам.

Итак, прогибы и углы поворотов сечений балок могут быть найдены из равенства, называемого интегралом Мора :

где M z ( x ) — изгибающий момент в текущем сечении балки от заданной нагрузки; M z 1 ( x ) — изгибающий момент в том же сечении от единичной силы, если ищется прогиб, и единичного момента, если ищется угол поворота сечения.

Для определения M z 1 ( x ) надо снять с балки заданную нагрузку (но не удалять опоры) и приложить в том сечении, перемещение которого ищется, в направлении этого перемещения единичную силу или пару. Моменты M z ( x ) и M z 1 ( x ) надо подставлять в интеграл Мора с их знаками. Положительный знак в окончательном выражении означает, что сечение перемещается по направлению приложенной единичной нагрузки, а отрицательный знак показывает, что перемещение происходит в противоположном направлении.

Источник

Определение прогибов и углов поворотов методом Мора

Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.

Получение формулы интеграла Мора

Рассмотрим балку, изображенную на рис. 15.6, а. Обозначим и , соответственно, изгибающий момент и поперечную силу, возникающие в заданной балке от действующей на нее группы нагрузок P. Пусть требуется определить прогиб балки () в точке K.

Введем в рассмотрение вспомогательную балку (та же балка, но нагруженная только единичной силой либо единичным изгибающим моментом). Нагрузим ее только одной силой (рис. 15.6, б). Единичную силу приложим в точке K, где нужно определить прогиб.

Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной балке, обозначим и .

Воспользуемся теперь теоремой о взаимности работ, согласно которой работа внешних сил, приложенных к вспомогательной балке на соответствующих перемещениях заданной балки равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил заданной балки на соответствующих перемещениях вспомогательной балки. Тогда .

При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием поперечной силы, ( не учитывать второе слагаемое).

Тогда, учитывая, что , окончательно получим формулу интеграла Мора : .

Определение перемещений по формуле интеграла Мора часто называют определением перемещений методом Мора , а саму формулу – интегралом Мора .

Входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z.

Заметим, что если мы хотим в этой же точке K определить угол поворота поперечного сечения (), то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, а единичный момент (рис. 15.6, в).

порядок вычисления перемещений методом Мора:

· к вспомогательной балке в той точке, где требуется определить перемещение, прикладываем единичное усилие. При определении прогиба прикладываем единичную силу , а при определении угла поворота – единичный момент ;

· для каждого участка балки составляем выражения для изгибающих моментов заданной () и вспомогательной () балок;

· вычисляем интеграл Мора для всей балки по соответствующим участкам;

· если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного усилия. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия.

Вычисление интеграла Мора пример

Пусть для шарнирно опертой балки постоянной изгибной жесткости , длиной l, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 15.7, а), требуется определить прогиб посредине пролета () и угол поворота на левой опоре ().

определение прогиба с помощью интеграла Мора

В том месте, где нам нужно определить прогиб, к вспомогательной балке прикладываем единичную силу (рис. 15.7, б).

Записываем выражения для изгибающих моментов для каждого из двух участков () заданной и вспомогательной балок:

.

.

Вычисляем интеграл Мора . Учитывая симметрию балки, получим:

.

Определение угла поворота методом Мора

Нагружаем вспомогательную балку единичным моментом , прикладывая его в том месте, где мы ищем угол поворота (рис. 15.7, в).

Записываем выражения для изгибающих моментов в заданной и вспомогательной балках только для одного участка ():

;

.

Тогда интеграл Мора будет иметь вид:

.

Положительный знак в выражении для угла поворота поперечного сечения балки указывает на то, что поворот сечения происходит по направлению единичного момента .

Источник

Вопрос 18.Определение перемещений при изгибе. Интеграл Мора. Метод Верещагина.

Прогиб – линейная деформация, смещение центра тяжести поперечного сечения.

Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление.

— перемещение сечения К под действием Р, где M_xp-изгибающий момент в произвольном сечении, _х — единичный момент в том же сечении под действием единичной силы или единичного момента (если ищется угол поворота), EI_x– жёсткость сечения балки при изгибе.

Правило Верещагина. Используется, когда жёсткость при изгибе постоянна вдоль длины. Эпюра изгибающих моментов должна быть линейной. Максимальный прогиб называется стрелой.

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр применимы только при наличии двух условий:

1.Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI=Const),

2.Одна из двух эпюр моментов на этом участке (грузовая или единичная) должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

Δ_кр= * ω_p * _k c — грузовое перемещение

ω_p – площадь грузовой эпюры.

_k c — ордината в единичном эпюре, соответствует центру тяжести грузовой.

При постоянной жесткости по длине балки EI_z для определения прогиба энергетическим методом необходимо вычислять интеграл вида:

.

Допустим, что эпюры изгибающих моментов аналитически выражаются функциями М_z=f₁(х), М ’ _z´ = f₂(х), причем одна из них, например, f₁(х) произвольная, а другая f₂(х) линейная функция и может быть записана в виде f₂(х) = kх+b. Пусть графики этих функций имеют вид представленный на рис. 3.86.

В соответствии с принятыми обозначениями можно записать:

Первый интеграл представляет собой статический момент относительно оси x площади эпюры ограниченной кривой M_z, т.е.

, где

ω – площадь, ограниченная кривой M_z,

х_c — координата центра тяжести фигуры ограниченной кривой M_z относительно оси х.

Второй интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой M_z, которую обозначили ω.

Таким образом, искомый интеграл равен произведению площади эпюры M_z на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры М_z´. Важно отметить, что вычисление перемещения способом Верещагина возможно только в том случае, когда, во-первых, эпюры M_z и М_z ´ на рассматриваемом участке не имеют изломов, во-вторых, одна из эпюр описывается линейной зависимостью и именно по ней определяется ордината под центром тяжести другой эпюры y_c. Поэтому при вычислении способом Верещагина интеграл Мора по всей длине балки надо заменить суммой интегралов по участкам, в пределах которых эпюра моментов от единичной нагрузки не имеет изломов. Тогда перемещение сечения балки δ:

Таким образом, для вычисления прогибов по способу Верещагина необходимо:

1) построить эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок M_z (основная эпюра);

2) снять внешнюю нагрузку (но сохранить опоры) и приложить в том сечении, в котором определяется перемещение (угол поворота) единичную силу (единичный момент) в направлении искомого.перемещения (угла поворота);

3) построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки М_z ´(единичная эпюра);

4) разбить эпюры на участки, в пределах которых отсутствуют изломы эпюр, и для каждого участка вычислить площадь криволинейной эпюры ω_i и ординаты эпюр ограниченных линейной функцией под центрами тяжести криволинейных эпюр у_ci.

5) составить произведения ω_i у_ci и просуммировать:

Встречающиеся на практике эпюры изгибающих моментов разбивают на простейшие фигуры: прямоугольник, треугольник и параболический треугольник.

Площади этих фигур и координаты центров тяжести приведены в таблице

Вид эпюры Mz	Площадь w	Координата центра тяжести xc
	ab / 2	a / 3
	ab / 3	a/ 4
	ab / 4	a / 5
	2ab / 3	a / 2
	2ab / 3	5a / 8

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Источник