Интеграл мора формула трапеции

7.5. Вычисление интегралов Мора по способу Симпсона

Применение метода Мора, как мы уже сумели убедиться, требует вычисления интегралов в процессе определения перемещений. В большинстве случаев при наличии большого числа участков, на которые приходится делить конструкцию, решение становится громоздким. Поэтому в практике расчетов предпочитают иметь дело с графо-аналитическими методами, позволяющими исключить интегрирование из процесса определения перемещений. Такие методы бывают не всегда точны и универсальны, но их простота и доступность делает их весьма популярными. К числу таких методов относится метод Мора-Симпсона. Еще в XVIII веке английским математиком Томасом Симпсоном было предложено вычислять интегралы графическим методом, исходя из того, что интеграл представляет в пределе сумму бесконечно малых величин. Симпсон предложил разбивать площадь фигуры, образовавшуюся под кривой подинтегральной функции, на узкие полоски и суммировать площади этих полосок. Им были сформулированы соответствующие рекомендации и предложены различные формулы, позволяющие упорядочить процесс подобного интегрирования. Сложность этих формул зависела от сложности подинтегрального выражения. В большинстве случаев предложенный им подход к интегрированию дает погрешности, но существуют такие функции, интегрирование которых по способу Симпсона дает точное решение. Речь идет о гладких унимодальных функциях, порядок которых не превышает трех.

Исследуя функции, входящие в формулу Мора, можно сделать вывод, что функции изгибающих моментов, составленных для единичных состояний всегда линейны. При действии на балку распределенной нагрузки постоянной интенсивности изгибающий момент описывается кривой второго порядка. При перемножении этих функций под интегралом Мора мы получаем кривую третьего порядка. Это означает, что, если ограничить класс решаемых задач балками и рамами, нагруженными сосредоточенными силами и распределенной нагрузкой постоянной интенсивности, то при использовании для определения перемещений метода Мора-Симпсона можно получать точное решение.

Рассмотрим интегрирование по способу Симпсона функции, описываемой кубической параболой, приведенной на рис.7.10.

Формула, которой предлагается пользоваться в этом случае, имеет вид:

. (7.32)

На рис 7.11 приведены грузовая (а) и единичная (б) эпюры изгибающих моментов для одного участка.

Буквами А, С и В обозначены изгибающие моменты на левом конце участка, посредине и на правом конце участка на грузовой эпюре. Буквами а, c и b обозначены изгибающие моменты на левом конце участка, посредине и на правом конце участка на единичной эпюре.

Интеграл Мора для одного участка имеет вид:

. (7.33)

Произведение моментов под интегралом обозначим:

. (7.34)

Применяя формулу Симпсона к интегралу Мора после соответствующих замен и подстановок, получим:

.

При решении задач с несколькими участками формула Мора-Симпсона принимает вид:

. (7.35)

В том случае, если обе эпюры изгибающих моментов, грузовая и единичная, меняются по линейному закону и представляют собой на каждом из участков трапеции, можно исключить средние значения моментов и, учитывая, что они могут быть вычислены из выражений:

; .

Подставляя эти значения в формулу (7.35), получаем формулу трапеций:

(7.36)

Если обе эпюры представляют собой прямоугольники или треугольники, удобно пользоваться формулой, которая легко получается из формулы (7.35):

(7.37)

Формула (7.37) получила название формулы треугольников. Здесь  коэффициент, величина которого зависит от вида перемножаемых эпюр (Таблица 7.1);  самый большой изгибающий момент на грузовой эпюре;  самый большой изгибающий момент на единичной эпюре;  длина участка. В таблице 7.1 приводятся значения коэффициентов .

Значение коэффициента

Вид эпюры

Вид эпюры

Метод Мора-Симпсона называют методом перемножения эпюр. Рассмотрим порядок решения задач методом Мора-Симпсона.

1. Разбиваем балку на участки и на каждом участке проставляем по три характерных сечения: на левом конце, посредине и на правом конце участка.

2. Вычисляем значения грузовых моментов в каждом из характерных сечений и строим эпюру грузовых изгибающих моментов .

3. Изображаем единичное состояние системы, прикладывая в том сечении, где следует определить перемещение, соответствующую единичную обобщенную силу: при определении прогиба прикладывают сосредоточенную единичную силу; при определении угла поворота прикладывают сосредоточенную единичную пару сил.

4. Вычисляем значения единичных моментов в характерных сечениях и строим эпюру единичных моментов . Эпюр единичных моментов строим столько, сколько следует определить перемещений.

5. Подставляем вычисленные значения грузовых и единичных изгибающих моментов в формулу Мора-Симпсона и вычисляем перемещения.

6. Знак перемещения будет положительным, если искомое перемещение совпадает с направлением соответствующей обобщенной единичной силы. Если направление перемещения и направление обобщенной единичной силы не совпадают, знак перемещения будет отрицательным.

Рассмотрим несколько примеров определения перемещений в стержневых системах по методу Мора-Симпсона.

Пример 7.5.Используя метод Мора-Симпсона, определить угол поворота в сечении В изображенной на рис.7.12,а балки, если жесткость поперечного сечения балкикНм 2 .

1. Балка (Рис.7.12,а) содержит один участок. Проставляем характерные сечения и вычисляем в каждом из них грузовые моменты. Значения моментов в характерных сечениях проставлены на рис.7.12,б. Опорные реакции в данной задаче можно не определять, изгибающие моменты можно определить, производя вычисления справа.

2. Строим эпюру грузовых изгибающих моментов .

3. Изображаем единичное состояние балки, прикладывая в сечении В единичный момент (Рис.7.12,в). Находим величины единичных изгибающих моментов в характерных сечениях. Значения этих моментов проставлены на рис.7.12,г.

1. Строим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.7.12,г).

5. Подставляя найденные значения грузовых и единичных изгибающих моментов в формулу Мора-Симпсона (7.35), находим угол поворота сечения В: рад. Пример 7.6.Определить вертикальное и горизонтальное перемещения сечения В рамы, изображенной на рис.7.13,а, если жесткость поперечного сечения рамыкНм 2 . Рис.7.13 Решение: 1. Разбиваем раму на участки, расставляем характерные сечения и выбираем точку наблюдения (Рис.7.13,а). 2. Определяем грузовые моменты в характерных сечениях и строим эпюру грузовых изгибающих моментов (Рис.7.13,б). 3. Изображаем первое единичное состояние (Рис.7.13,в), определяем моменты в характерных сечениях и строим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.7.13,г). 4. Изображаем второе единичное состояние (Рис.7.13,д), определяем моменты в характерных сечениях и строим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.7.13,е). 5. Находим вертикальное перемещения узла В, перемножая эпюры изгибающих моментов и. Поскольку обе эпюры изгибающих моментов являются линейными, при перемножении эпюр воспользуемся формулами трапеций (7.36) и треугольников (7.37). На участке №1 будем перемножать эпюры с помощью формулы трапеций, на участках №2 и №3 – с помощью формулы треугольников: ммм. Перемещение получилось положительным. Это означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы . 6. Находим горизонтальное перемещение узла В, перемножая эпюры изгибающих моментов и. Так же, как и в предыдущем пункте будем использовать при перемножении эпюр формулы трапеций и треугольников: ммм. Горизонтальное перемещение оказалось отрицательным. Это означает, что узел В в горизонтальном направлении перемещается не влево, куда изначально была направлена единичная сила, а вправо, что соответствует физическому смыслу задачи.

Источник

Определение перемещений методом Мора

Метод Мора позволяет определять линейные и угловые переме­щения любых сечений любой расчетной схемы по любому направ­лению от действия любых нагрузок.

Коротко напомним порядок определения перемещений методом Мора.

Для определения перемещений методом Мора необходимо:

1. Изобразить расчетную схему конструкции – грузовое состояние.

2. Изобразить вспомогательное состояние – расчетную схему, ос­вобожденную от всех нагрузок. Приложить к вспомогательному со­стоянию в точке, где определяется перемещение, по направлению этого перемещения единичный силовой фактор – силу, равную без­размерной единице, если определяется линейное перемещение, или момент, равный безразмерной единице, если определяется угловое пе­ремещение.

3. Грузовое и вспомогательное состояние разделить на одинаковое число участков. Границами участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы или моменты, в том числе и единичные, начина­ются или кончаются распределенные нагрузки, узлы рамы, а также точки на расчетной схеме, в которых изменяется поперечное сечение. Пронумеровать участки. Порядок нумерации и порядок обхода участков для грузового и вспо­могательного состояния должны быть одинаковыми. Для произволь­ного сечения каждого участка записать аналитические выражения для определения внутренних силовых факторов, возникающих в гру­зовом и вспомогательном состояниях.

4. Полученные аналитические выражения подставить в фор­мулу Мора и произвести необходимые вычисления, в результате этих вы­числений получают искомое перемещение. Если искомое переме­ще­ние получено со знаком «плюс», то это означает, что его направ­ление совпадает с направлением единичного силового фактора. Знак «ми­нус» при перемещении означает, что действительное направле­ние пе­ремещения противоположно направлению единичного сило­вого фак­тора.

Для плоской системы формула (3.1) принимает вид

Примечание. В формулах (3.1) и (3.2) опущены слагаемые, учитывающие влияние Q_x и Q_y на величину искомого перемещения, так как в технических расчетах этим влиянием пренебре­гают ввиду его малости.

В балках и плоских рамах в большинстве случаев пренебрегают и влиянием N, тогда перемещения определяют по формуле

В шарнирных фермах, состоящих из прямых стержней, в фор­муле Мора сохраняется лишь член, учитывающий только нормаль­ную силу

n – число участков интегрирования;

M_x, M_y, M_k, N – аналитические выражения для определения внутренних силовых факторов в грузовом состоянии;

– то же во вспомогательном состоянии;

E, G – модуль упругости и модуль сдвига соответст­венно;

I_x, I_y, I_k, F – геометрические характеристики поперечного сече­ния.

Для прямолинейных участков с постоянной жесткостью инте­гралы Мора можно вычислять графоаналитическим способом – спо­собом Верещагина. Способ Верещагина иногда называют способом «перемножения» эпюр. Чтобы им воспользоваться, необхо­димо построить эпюры для грузового и вспомогательного состояний.

Формулы (3.1)…(3.4) в этом случае принимают вид

(3.1а)
.	(3.2а)

.

(3.3а)

.

(3.4а)

, , , W _N – площади грузовых эпюр на i -м участке;

– ординаты единичных эпюр (эпюр для вспомогательного состояния) i -го участка, взятые в тех сечениях, где расположены центры тяжести площадей грузовых эпюр.

Если площадь грузовой эпюры и ордината под ее центром тяже­сти, взятая с единичной эпюры, расположены по разные стороны от базовой линии, то их произведение берется со знаком «минус». Фор­мулы для вычисления площадей (W) фигур, изображающих грузовые эпюры на участках, положение центров тяжести (С) этих фигур, а также соответствующие им ординаты () на единичных эпюрах для наиболее простых случаев даны в табл. 4.

В более сложных случаях перемножение эпюр на линейных участках (рис. 5) может быть выпол­нено по универсальной формуле

где l – длина участка; a, b – ординаты грузовой эпюры на границах участка; c, d – ординаты единичной эпюры на границах участка; f – высота параболического сегмента грузовой эпюры.

Ординаты a, b, c, d, f подставляются в формулу (3.5) с учетом знаков. Правило знаков для ординат устанавливает сам студент, на­пример так, как показано на рис. 5. Знак f берется по отношению к линии АВ. Ордината f считается положительной, если она направ­лена от линии АВ в сторону знака «плюс», и отрицательной, если в сторону знака «минус».

* Формула в таком виде предложена автором

	Грузовая эпюра Правило знаков
Единичная эпюра

Значение f для эпюр изгибающих моментов при наличии на участке равномерно распределенной нагрузки может быть опреде­лено так:

где q – интенсивность равномерно распределенной нагрузки; l – длина участка.

Примечание. Если по формуле (3.5) перемножаются две эпюры, огра­ниченные прямыми линиями, то f = 0 и формула (3.5) превращается в известную формулу трапеций.

Известна и другая универсальная формула

где e, g – ординаты грузовой и единичных эпюр на середине участка.

Ординаты e и g, так же как и ординаты a, b, c, d, f, в формулы (3.7) и (3.8)подставляют с учетом принятого правила знаков.

По формулам (3.5) и (3.7) могут перемножаться эпюры, изображае­мые треугольниками, прямоугольниками, трапециями, в том числе и перекрученными, в любом сочетании. Одна из перемножаемых эпюр может быть ограничена квадратичной параболой.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Источник