Формулы интегралов мора способом верещагина

Перемножение эпюр по правилу, методу или способу Верещагина

Привет! В этой статье будем учиться определять перемещения поперечных сечений при изгибе: прогибы и углы поворотов, по методу (способу, правилу) Верещагина. Причем это правило широко используется не только при определении перемещений, но и при раскрытии статической неопределимости систем по методу сил. Я расскажу, о сути этого метода, как перемножаются эпюры различной сложности и когда выгодно пользоваться этим методом.

Что нужно знать для успешного освоения материалов данного урока? Обязательно нужно уметь строить эпюры изгибающих моментов, т.к. в этой статье будем работать с данной эпюрой.

Верещагин и его метод, правило или способ

А.К. Верещагин в 1925г. предложил более простой способ решения (формулы) интеграла Мора. Он предложил вместо интегрирования двух функций перемножать эпюры: умножать площадь одной эпюры на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Этим способом можно пользоваться, когда одна из эпюр прямолинейна, вторая может быть как линейной, так и параболической. Кроме того, ордината берется прямолинейной эпюры. Когда эпюры обе прямолинейны, то тут совсем неважно, чью брать площадь, а чью ординату. Таким образом, эпюры по Верещагину перемножаются по следующей формуле:​

Проиллюстрировано перемножение эпюр по Верещагину: C — центр тяжести первой эпюры, ω_с — площадь первой эпюры, M_c — ордината второй эпюры под центром тяжести первой.

Площадь и центр тяжести эпюр

При использовании метода Верещагина берется не сразу вся площадь эпюры, а частями, в пределах участков. Эпюра изгибающих моментов расслаивается на простейшие фигуры.

Любой самый сложный участок эпюры можно расслоить на три простейшие фигуры: прямоугольник, прямоугольный треугольник и параболический сегмент.

Поэтому именно с этими фигурами будем дальше работать. Напомню, как вычислить их площадь и где у них находится центр тяжести. Все формулы и размеры оформил в виде таблицы:

Перемножение простейших эпюр по Верещагину

В этом блоке статьи покажу простейшие случаи перемножения эпюр по Верещагину.

Прямоугольник на прямоугольник

Прямоугольник на треугольник

Треугольник на прямоугольник

Параболический сегмент на прямоугольник

Параболический сегмент на треугольник

Расслоение эпюр на простые фигуры

В этом блоке статьи покажу способы расслоения эпюр на простые фигуры, для дальнейшего их перемножения по правилу Верещагина.

Прямоугольник и треугольник

Два треугольника

Два треугольника и параболический сегмент

Треугольник, прямоугольник и параболический сегмент

Пример определения перемещений: прогибов и углов поворотов по Верещагину

Теперь предлагаю рассмотреть конкретный пример с расчетом перемещений поперечных сечений: их прогибов и углов поворотов. Возьмем стальную балку, которая загружена всевозможными типами нагрузок и определим прогиб сечения C, а также угол поворота сечения A.

Построение эпюры изгибающих моментов

В первую очередь рассчитываем и строим эпюру изгибающих моментов:

Построение единичных эпюр

Теперь для каждого искомого перемещения необходимо приложить единичную нагрузку в ту точку, где это перемещение определяется и построить единичные эпюры:

• для прогибов прикладываются единичные силы.
• для углов поворотов прикладываются единичные моменты.

Все прикладываемые нагрузки являются безразмерными величинами. Причем, направление этих нагрузок неважно! Расчет покажет верное направление перемещений.

Например, после расчета величина прогиба получилась положительной, это значит, что направление перемещения сечения совпадает с направлением ранее прикладываемой единичной силы. То же самое касается и углов поворотов.

Перемножение участков эпюры по Верещагину

После проведения всех подготовительных работ: построения эпюры изгибающих моментов, расслоения ее на элементарные фигуры и построения единичных эпюр от нагрузок, приложенных в местах и направлении искомых перемещений, можно переходить непосредственно к перемножению соответствующих эпюр.

Как уже было написано выше, линейные эпюры можно перемножать в любом порядке, то есть брать площадь любой эпюры: основной или единичной, и умножать на ординату другой. Но обычно, чтобы не путаться в расчетах, площади берут основной эпюры изгибающих моментов, в этом уроке будем придерживаться этого же правила.

Определение прогиба сечения С

Перемножаем соответствующие эпюры слева направо и вычисляем прогиб сечения C по методу Мора — Верещагина:

\[ < V >_< C >=\frac < 1 >< E< I >_ < x >> (\frac < 1 > < 2 >\cdot 6\cdot 3\cdot \frac < 2 > < 3 >\cdot 2+\frac < 1 > < 2 >\cdot 6\cdot 2\cdot \frac < 2 > < 3 >\cdot 2)=\frac < 20кН< м >^ < 3 >>< E< I >_ < x >> \]

Представим, что рассчитываемая балка имеет поперечное сечение в виде двутавра №24 по ГОСТ 8239-89, тогда прогиб балки будет равен:

Определение угла поворота сечения С

Перемножаем соответствующие эпюры слева направо и вычисляем угол поворота сечения C по правилу Мора — Верещагина:

Для закрепления пройденного материала рекомендую изучить примеры, где рассмотрены различные случаи расслоения и перемножения эпюр.

Источник

7.7. Графоаналитический способ Верещагина

льно упрощающий вычисление интегралов в формуле Мора (7.18).

Интегралы Мора с точностью до постоянного множителя представляют собой интегралы от произведения двух функций вида:

где, по крайней мере, одна из функций (рис. 7.14)

является линейной ( постоянные величины).

Возьмём к примеру, интеграл

где — момент от единичной обобщённой силы – линейная функция, — в общем случае – криволинейная функция.

Подставляя выражение для в выражение для и производя почленное интегрирование, найдём:

Из рис. 7.14 следует, что есть элементарная площадь кри-

волинейной эпюры, — статический момент этой элементар-

ной площади относительно оси Поэтому:

Из полученной формулы (7.20) следует простое правило вычисления интегралов Мора: интеграл с точностью до постоянного множителя равен произведению площади криволинейной эпюры на ординату взятую из прямолинейной эпюры под центром тяжести криволинейной эпюры.

На первый взгляд, описанный графоаналитический способ вычисления интегралов Мора не даёт упрощений, т.к. всё равно приходится вычислять площадь криволинейных эпюр. Однако встречающиеся на практике эпюры могут быть разбиты на ряд простейших – прямоугольник, треуголь-ник, симметричную квадратичную параболу и др. Эти эпюры приведены на рис. 7.15.

В первом случае во втором в третьем в четвёртом

Рассмотрим несколько сложных эпюр (рис. 7.16): а) эпюра разбивае-

тся на симметричную параболу, треугольник и прямоугольник; б) эпюра пересекает ось стержня, её можно дополнить сверху и снизу равными пло-

щадями и разложить на два треугольника, доказательство добавляемых площадей элементарно: из подобия заштрихованных треугольников следует откуда что и доказывает утверждение;

в)эпюра разбивается на симметричную параболу и два треугольника, соответствующих случаю (б).

Источник

2)Вывод формулы способа Верещагина для вычисления интеграла Мора.

Если стержень состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, эпюры от единич­ных силовых факторов на прямолинейных участках оказыва­ются линейными.

Положим, на участке длиной 1 нужно взять интеграл от произведения двух функцийf₁(z)*f₂(z):J =f₁ (z) f₂(z) dz (1)

при условии, что хотя бы одна из этих функций — ли­нейная. Пусть f₂(Z) =b +kz. Тогда выражение (1) примет видJ =f₁ (z) dz+ kzf₁ (z) dz

Первый из написанных интегралов представляет собой пло­щадь, ограниченную кривой f₁ (z) (рис. 5.18), или, короче го­воря, площадь эпюрыf₁(z):

Второй интеграл характеризует статический момент этой пло­щади относительно оси ординат, т.е.

где Zц.т — координата центра тяжести первой эпюры. Теперь получаем

Но =f₂(z_ц.т.) Следовательно,

Таким образом, по способу Верещагина операция интегри­рования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой.

Билет 20

1)Главные осевые моменты инерции. Определение их величин и направлений главных осей.

Оси, относительно которых центробежный момент J_XcYc=0, наз-ся главными. Осевые моменты инерции относительно главных осей наз-ся главными моментами инерции.

«+» соответсвует максимальному моменту инерции, « — » — минимальному. После того как сечение вычерчено в масштабе и показано положение главных осей на глаз устанавливается направление осей (которой из двух соответствует максимальный, а которой – минимальный момент инерции).

2) Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (определение напряжений и перемещений).

На рисунке показана полученная методом теории упругости эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как мы видим, напряжения равны нулю. Наибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон, в точках А:

τ_А= τ_max=

_в=τ_max, где а — большая, b — малая сторона прямоугольника. Коэффициентыизависят от отношения сторонКоэффициент β также зависит от этого отношения. Эти данные приводятся в таблицах.

Угловое перемещение:

Ф-ла для расчёта касательных напряжений: , где

для расчёта углового перемещения:

Для прямоугольника: ,–геометрические параметры, зависящие от формы сечения.

Потенциальная энергия, накопленная закрученным брусом:

Билет 21

1)Определение перемещений при растяжении-сжатии.

, где W – перемещение, – удлинение, N – внутренняя сила на участке, E – модуль упругости первого рода, А – площадь поперечного сечения на участке.

Для однородного стержня длины , при Е= const, N = const:

2) Расчёт на прочность при изгибе. Понятие о расчётном и нормативном коэффициенте запаса.

По принципу независимости действия сил нормаль­ное напряжение в произвольной точке, принадлежащей попереч­ному сечению бруса и имеющей координаты x, y, опр-ся суммой напр-й, обусловленных моментами M_x и M_y , т.е. (5.26)

Mx = Msin; My = Mcos, где- угол между плоскостью главного мемента М и осью Ох или Оу. (5.25)

Правило знаков для моментов: момент считается положительным, если в первой четверти координатной плоскости (там, где координаты x и y обе положительны) он вызывает сжимающие напряжения.

Если изгиб чистый, то один из моментов M_x или M_y равен 0 и выражение (5.26) принимает вид

, где — осевой момент сопротивления,– осевой момент инерции,— расстояние по модулю до наиболее удалённой точки сечения от Ох.

При косом изгибе М_Х , М_{У .}

Уравнение нейтральной линии, т.е. геометрического места точек, где нормальное напряжение принимает нулевые значения, находят, полагая в (5.26)  = 0:

Откуда определяется: (5.27)

Эпюра напряжений в поперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальные напряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии.

Расчёт на прочность при изгибе проводится при условиях:

материал работает одинаково на растяжение и сжатие, т.е.

Условие прочности: , где,, где– допускаемое значение предела текучести,— коэф. запаса.

если неодинаково, то работают два условия:

, где,

Если расчёт проектировочный, то из двух коэффициентов выбирется наибольший. В поверочном – наоборот.

В целях безопасной работы напряжения должны быть ниже предельных значений для данного материала. Таким образом при поверочном расчёте (нахожд. Нормативного коэф. запаса):

, где — предельное кас. напряжение материала,n_Т – коэф. запаса,

за расчётный коэффициент принимают [n] > n_Т, где [n] – нормативный (предписываемый нормами проектирования конструкций) коэф. запаса.

Источник

Вычисление интеграла Мора способом Верещагина

Взятие интеграла Мора не всегда удобно и связано с необходимостью составления функции внутренних сил. Поэтому вместо интегрирования интеграла Мора можно воспользоваться графоаналитическим способом — способом перемножения эпюр (способом Верещагина). Рассмотрим этот метод подробнее.

Рассмотрим две эпюры. Пусть одна имеет произвольное очертание, а другая — прямолинейное.

Перемножение эпюры произвольного очертания и линейной эпюры способос Верещагина

Формула Верещагина:

Способ Верещагина перемножения эпюр можно сформулировать следующим образом.

Интеграл Мора равен произведению площади эпюры (любого очертания) на ординату прямолинейной эпюры, расположенную под центром тяжести эпюры Mk, деленному на жесткость стержня.

Интеграл (значение) считается положительным, если обе эпюры изгибающих моментов расположены по одну сторону от оси балки. Если перемножаемые эпюры располагаются по разные стороны от оси балки, то значение интеграла, полученное способом Верещагина, принимается отрицательным.

Отметим, что если брать интеграл непосредственно, то знак получается в результате вычислений «как бы автоматически». В способе Верещагина его следует ставить по вышеуказанному правилу.

Положительное значение интеграла означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента).

Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина, который предложил студент МИИЖТ Верещагин в 1924.

Источник