Формула мора верещагина сопромат

Формула мора верещагина сопромат

Калькулятор умножения эпюр объясняет как получить произведение эпюр, необходимое для вычисления интеграла Мора. Обычно используется правило Верещагина или правило Симпсона-Корноухова.
Укажите длину участка и значения по краям эпюр. Для криволинейной эпюры дополнительно укажите интенсивность распределенной нагрузки q («+» вниз, «-» вверх, «0» — если нагрузки нет).
Внизу Вы найдете результат и подробное объяснение, как именно множить Ваши эпюры.

Произведение эпюр по правилу Верещагина

Произведение двух эпюр равно площади первой эпюры, умноженной на значение на второй эпюре напротив центра тяжести первой

$$\int f(z) \cdot y(z) dz =\Omega \cdot y_c $$

В том случае, если площадь или центр тяжести на первой эпюре посчитать сложно, ее обычно разбивают на более простые фигуры.

В нашем случае имеем:
— прямоугольник 6×12, площадь 72, центр тяжести посредине, значение напротив центра тяжести 13;
— треугольник 6×30, площадь 90, центр тяжести на 2/3 длины, значение напротив центра тяжести 3.67;
— парабола 6×54, площадь 216 (высота параболы считается по формуле qL^2/8, и не важно она горизонтально расположена или под углом, а площадь = 2/3 ширины на высоту), центр тяжести посредине, значение напротив центра тяжести 13;
$$\int f(z) = -72\cdot13+90\cdot3.67+216\cdot13=2202$$знак «-» ставим, если первая эпюра и значение на второй расположены по разные стороны стержня.

Произведение эпюр по правилу Симпсона

$$\int f(z) \cdot y(z) dz = \frac< l><6>(y_ \cdot f_+4*y_ \cdot f_+y_ \cdot f_) = $$ $$ = \frac<6><6>(-12\cdot41+4*57\cdot13+18\cdot-15) = 2202$$ где $l$ — длина участка, в скобках $y$ и $f$ — значения на эпюрах слева, посредине участка и справа.

Источник

2. Правило Мора-Верещагина (графический способ вычисления

Кроме метода начальных параметров существует эффективный универсальный метод определения перемещений в балках, рамах и упругих конструкциях произвольной конфигурации – метод Мора. Упругое перемещение (либо прогиб , либо угол поворота сечения ) определяется по формуле:

где – изгибающий момент от заданной нагрузки; – изгибающий момент от единичной силы, приложенной в той точке, в которой определяется перемещение.

Упрощение операций интегрирования возможно для конструкций с прямолинейной осью постоянной жесткости и основано на том, что эпюры от единичных усилий на прямолинейных участках оказываются линейными. Рассматривая эту процедуру применительно к участку балки, преобразуем интеграл Мора с учетом этой особенности. На рис. 1.3 сверху показан участок балки с эпюрой общего вида, а внизу эпюра , представляющая собой линейную функцию. В результате несложного расчета (подробности смотри в учебнике) установлено, что интеграл произведения двух функций и численно равен площади эпюры , умноженной на величину момента, взятого с эпюры в сечении, соответствующем центру тяжести эпюры .

– обобщённое перемещение: либо прогиб , либо угол поворота . Если вычисляем прогиб, то в этой точке по направлению искомого прогиба к ненагруженной балке прикладываем единичную силу и строим эпюру . Если вычисляем угол поворота , то к ненагруженной балке в этой точке по направлению искомого углового перемещения прикладываем единичный момент и строим эпюру .

Если балка имеет несколько участков по длине, формула Верещагина будет иметь вид

где – площадь эпюры моментов от внешней нагрузки (грузовой эпюры); – ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры; – число участков по длине балки.

При пользовании этой формулой надо уметь вычислять площади и координаты центров тяжести основных фигур: прямоугольника, прямолинейного треугольника и криволинейного треугольника. Минимально необходимые справочные данные приведены в табл. 1.1. Процедуру графического вычисления называют «перемножением» эпюр.

Источник

2)Вывод формулы способа Верещагина для вычисления интеграла Мора.

Если стержень состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, эпюры от единич­ных силовых факторов на прямолинейных участках оказыва­ются линейными.

Положим, на участке длиной 1 нужно взять интеграл от произведения двух функцийf₁(z)*f₂(z):J =f₁ (z) f₂(z) dz (1)

при условии, что хотя бы одна из этих функций — ли­нейная. Пусть f₂(Z) =b +kz. Тогда выражение (1) примет видJ =f₁ (z) dz+ kzf₁ (z) dz

Первый из написанных интегралов представляет собой пло­щадь, ограниченную кривой f₁ (z) (рис. 5.18), или, короче го­воря, площадь эпюрыf₁(z):

Второй интеграл характеризует статический момент этой пло­щади относительно оси ординат, т.е.

где Zц.т — координата центра тяжести первой эпюры. Теперь получаем

Но =f₂(z_ц.т.) Следовательно,

Таким образом, по способу Верещагина операция интегри­рования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой.

Билет 20

1)Главные осевые моменты инерции. Определение их величин и направлений главных осей.

Оси, относительно которых центробежный момент J_XcYc=0, наз-ся главными. Осевые моменты инерции относительно главных осей наз-ся главными моментами инерции.

«+» соответсвует максимальному моменту инерции, « — » — минимальному. После того как сечение вычерчено в масштабе и показано положение главных осей на глаз устанавливается направление осей (которой из двух соответствует максимальный, а которой – минимальный момент инерции).

2) Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (определение напряжений и перемещений).

На рисунке показана полученная методом теории упругости эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как мы видим, напряжения равны нулю. Наибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон, в точках А:

τ_А= τ_max=

_в=τ_max, где а — большая, b — малая сторона прямоугольника. Коэффициентыизависят от отношения сторонКоэффициент β также зависит от этого отношения. Эти данные приводятся в таблицах.

Угловое перемещение:

Ф-ла для расчёта касательных напряжений: , где

для расчёта углового перемещения:

Для прямоугольника: ,–геометрические параметры, зависящие от формы сечения.

Потенциальная энергия, накопленная закрученным брусом:

Билет 21

1)Определение перемещений при растяжении-сжатии.

, где W – перемещение, – удлинение, N – внутренняя сила на участке, E – модуль упругости первого рода, А – площадь поперечного сечения на участке.

Для однородного стержня длины , при Е= const, N = const:

2) Расчёт на прочность при изгибе. Понятие о расчётном и нормативном коэффициенте запаса.

По принципу независимости действия сил нормаль­ное напряжение в произвольной точке, принадлежащей попереч­ному сечению бруса и имеющей координаты x, y, опр-ся суммой напр-й, обусловленных моментами M_x и M_y , т.е. (5.26)

Mx = Msin; My = Mcos, где- угол между плоскостью главного мемента М и осью Ох или Оу. (5.25)

Правило знаков для моментов: момент считается положительным, если в первой четверти координатной плоскости (там, где координаты x и y обе положительны) он вызывает сжимающие напряжения.

Если изгиб чистый, то один из моментов M_x или M_y равен 0 и выражение (5.26) принимает вид

, где — осевой момент сопротивления,– осевой момент инерции,— расстояние по модулю до наиболее удалённой точки сечения от Ох.

При косом изгибе М_Х , М_{У .}

Уравнение нейтральной линии, т.е. геометрического места точек, где нормальное напряжение принимает нулевые значения, находят, полагая в (5.26)  = 0:

Откуда определяется: (5.27)

Эпюра напряжений в поперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальные напряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии.

Расчёт на прочность при изгибе проводится при условиях:

материал работает одинаково на растяжение и сжатие, т.е.

Условие прочности: , где,, где– допускаемое значение предела текучести,— коэф. запаса.

если неодинаково, то работают два условия:

, где,

Если расчёт проектировочный, то из двух коэффициентов выбирется наибольший. В поверочном – наоборот.

В целях безопасной работы напряжения должны быть ниже предельных значений для данного материала. Таким образом при поверочном расчёте (нахожд. Нормативного коэф. запаса):

, где — предельное кас. напряжение материала,n_Т – коэф. запаса,

за расчётный коэффициент принимают [n] > n_Т, где [n] – нормативный (предписываемый нормами проектирования конструкций) коэф. запаса.

Источник

метод Верещагина

Определить перемещение точки К балки (см. рис.) при помощи интеграла Мора.

1) Составляем уравнение изгибающего момента от внешней силы M_F.

2) Прикладываем в точке К единичную силу F = 1.

3) Записываем уравнение изгибающего момента от единичной силы .

Определить перемещение точки К балки по способу Верещагина.

2) Прикладываем в точке К единичную силу.

; ;

Определить углы поворота на опорах А и В для заданной балки (см. рис.).

Строим эпюры от заданной нагрузки и от единичных моментов, приложенных в сечениях А и В (см. рис.). Искомые перемещения определяем с помощью интегралов Мора

,

, которые вычисляем по правилу Верещагина.

C₁ = 2/3, C₂ = 1/3,

а затем и углы поворота на опорах А и В

Определить угол поворота сечения С для заданной балки (см. рис.).

Определяем опорные реакции R_A=R_B,

, , R_A = R_B = qa.

Строим эпюры изгибающего момента от заданной нагрузки и от единичного момента, приложенного в сечении С, где ищется угол поворота. Интеграл Мора вычисляем по правилу Верещагина. Находим параметры эпюр

C₂ = —C₁ = -1/4,

а по ним и искомое перемещение

.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

1. Построение эпюр изгибающих моментов.

Эпюра M_F (рис. б)

ВЕ: , ,

, R_B + R_E = F, R_E = 0;

АВ: , R_А = R_В = F; , .

Вычисляем моменты в характерных точках , M_B = 0, M_C = Fa и строим эпюру изгибающего момента от заданной нагрузки.

Эпюра (рис. в).

В сечении С, где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента, вычисляя сначала опорные реакции ВЕ — , , = 2/3; , , = 1/3, а затем моменты в характерных точках , , .

2. Определение искомого прогиба. Воспользуемся правилом Верещагина и вычислим предварительно параметры эпюр и :

,

.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С. Пользуясь правилом Верещагина, вычисляем параметры эпюр ,

.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

1. Построение эпюр изгибающих моментов.

, , R_A = 2qa,

, R_A + R_D = 3qa, R_D = qa.

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С.

2. Определение перемещений. Для вычисления интеграла Мора воспользуемся формулой Симпсона, последовательно применяя ее к каждому из трех участков, на которые разбивается балка.

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок СD:

.

Определить прогиб сечения А и угол поворота сечения Е для заданной балки (рис. а).

1. Построение эпюр изгибающих моментов.

Эпюра М_F (рис. в). Определив опорные реакции

, , R_B = 19qa/8,

, R_D = 13qa/8, строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М_F от заданной нагрузки.

Эпюра (рис. д). В сечении А, где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента.

Эпюра (рис. е). Эта эпюра строится от единичного момента, приложенного в сечении Е, где ищется угол поворота.

2. Определение перемещений. Прогиб сечения А находим, пользуясь правилом Верещагина. Эпюру М_F на участках ВС и CD разбиваем на простые части (рис. г). Необходимые вычисления представляем в виде таблицы.

Источник