Метод Максвелла – Мора определения перемещений
Метод Максвелла – Мора определения перемещений является универсальным методом, справедливым, в отличие от рассмотренного выше аналитического способа, не только для балок, но и для любых стержневых систем. Чтобы понять сущность метода Максвелла – Мора, введем понятия обобщенной силы и обобщенного перемещения [2]. Обобщенной силой называется любое однопараметрическое силовое воздействие: это может быть и сосредоточенная сила, и сосредоточенный момент, и распределенная нагрузка, и группа сил, связанных между собой. Обобщенным перемещением, соответствующим заданной обобщенной силе, называется то перемещение, на котором обобщенная сила совершает работу. Приведем два самых важных для практики примера. Если обобщенной силой (о.с.) является вертикальная сосредоточенная сила, приложенная в точке А балки, то соответствующим этой силе обобщенным перемещением (о.п.) является перемещение по направлению этой силы, то есть прогиб в точке А (рис. 4.17, а), так как именно на таком перемещении сила F совершает работу. Если обобщенной силой является сосредоточенная пара сил, приложенная в точке В, то обобщенным перемещением, соответствующим этой обобщенной силе, будет угол поворота в сечении В (рис. 4.17, б).
Запишем приближенную формулу Максвелла – Мора, которая используется для определения перемещений в изгибаемых плоских стержневых системах и не учитывает влияния на перемещения продольной и поперечной сил:
. (4.21)
В этой формуле – искомое обобщенное перемещение (это может быть и прогиб, и угол поворота любого сечения);М – изгибающий момент от заданной нагрузки; Мi – изгибающий момент, вызванный единичной обобщенной силой, соответствующей искомому перемещению; EI – жесткость стержня при изгибе (произведение модуля упругости на момент инерции). Интегрирование в формуле Максвелла – Мора ведется по длинам всех стержней конструкции (по длинам всех участков балки).
Таким образом, чтобы воспользоваться формулой Максвелла – Мора, надо:
- определить изгибающий момент на каждом участке от заданной нагрузки;
- освободить конструкцию от заданной нагрузки и загрузить ее единичной обобщенной силой, соответствующей искомому перемещению, то есть:
- если мы хотим определить вертикальное перемещение какой-то точки, то в этой точке следует приложить сосредоточенную силу, положить ее равной единице и найти изгибающий момент, вызванный действием только этой силы;
- если требуется найти угол поворота какого-то сечения, то в этом сечении надо приложить сосредоточенную пару, равную единице, и найти изгибающий момент от этой пары;
- подставить произведение изгибающих моментов от нагрузки и от единичной обобщенной силы в интеграл (4.21) и проинтегрировать по всей длине конструкции.
Введем правило знаков в методе Максвелла – Мора: полученный по формуле Максвелла – Мора положительный знак перемещения показывает, что искомое перемещение происходит по направлению, совпадающему с принятым направлением единичной обобщенной силы, отрицательный знак перемещения говорит о том, что точки оси перемещаются (сечения поворачиваются) в сторону, противоположную направлению единичной обобщенной силы. Очень распространенным способом интегрирования формулы Максвелла – Мора является способ графического интегрирования, называемый правилом Верещагина. Для того, чтобы воспользоваться правилом Верещагина, надо построить графики функций М и 
, входящих в подынтегральное выражение формулы Максвелла – Мора. Такими графиками являются эпюры М и 
. Операция интегрирования формулы Максвелла – Мора с помощью правила Верещагина носит название «перемножение эпюр». Правило Верещагина состоит в следующем:
- Разбиваем эпюру М на простые фигуры, для которых известно положение центра тяжести (прямоугольники, треугольники и т. п.) 8 .
- Находим площади этих фигур
. При определении площадей учитываем знаки ординат. - Под центрами тяжести этих фигур находим ординаты на эпюре (с учетом знаков).
- Искомый интеграл будет равен (при постоянной жесткости балки ) сумме произведений площадейна соответствующие им ординаты под центрами тяжести, то есть
. При определении площадей учитываем знаки ординат.
на эпюре 
(с учетом знаков).
) сумме произведений площадей
на соответствующие им ординаты под центрами тяжести
, то есть
, (4.22) где n – количество фигур, на которые разбита эпюра М. Примечание. Та эпюра (чаще всего 
), на которой ищем ординату под центром тяжести, должна быть обязательно линейна на всем участке перемножения. 
Рис. 4.18. Некоторые полезные формулы для перемножения эпюр В заключение приведем некоторые формулы, которые удобно использовать при перемножении эпюр. Если на участке балки действует равномерно распределенная нагрузка, то, как известно, эпюра изгибающих моментов на этом участке является квадратной параболой. Площадь сегмента, ограниченного квадратной параболой и показанного на рис. 4.18, а, вычисляется по формуле 
, (4.23) а центр тяжести этой фигуры находится посередине, независимо от угла наклона секущей. Если обе перемножаемые эпюры линейны и представляют собой трапеции (рис. 4.18, б), то, чтобы не разбивать эти трапеции на треугольники и прямоугольники, удобно воспользоваться формулой перемножения трапеций 
, (4.24) где ординаты a, b, c и d на эпюрах М и Мi показаны на рис. 4.18, б (берутся с учетом знаков); l – длина перемножаемого участка эпюр. Вторым способом графического интегрирования формулы Максвелла – Мора является способ, использующий формулу Симпсона. Эта формула получена из известной в математике формулы Симпсона приближенного интегрирования путем деления участка интегрирования на два отрезка. Если подынтегральные функции М и Мi – линейные или квадратные параболы, то формула Симпсона дает точное значение интеграла. Приведем эту формулу, применяемую для перемножения эпюр, 
. (4.25) В написанной формуле 
– длина участка интегрирования;
и
– значения крайних ординат на эпюрахМиМi;
– ординаты на эпюрахМиМi, вычисленные в середине участка перемножения (рис. 4.19). 
Рис. 4.19. Пояснения к формуле Симпсона Примеры решения задач
Источник
Примеры решения задач
Рассмотрим раму, показанную на рис. 4.26, и определим в ней внутренние усилия, то есть построим эпюры N, Q и М.
Найдем три опорные реакции, используя три уравнения статики. Желательно составлять такие уравнения, чтобы в каждое из них входила бы только одна неизвестная реакция. В данном примере это такие уравнения (предполагаемые направления реакций показаны на рис. 4.27, а):
; 
;
кН;
проекций сил на вертикальную ось равна 0; 
;
кН;
; 
;
кН.
Для проверки используем уравнение «сумма проекций сил на горизонталь- ную ось равна нулю»:
.
Рис. 4.27. Определение внутренних усилий в раме:
а– схема рамы с нагрузками;б,в,г– эпюры внутренних усилий
Находим внутренние усилия, используя метод сечений. Рама имеет три участка. Заметим, что если для балки границей между участками считалось сечение, где появлялся новый силовой фактор, то для рам границей между участками является также и узел, где соединяются соседние стержни рамы (стойка и ригель). Рассечем стержни рамы на трех участках и выберем начало отсчета х на каждом участке (удобно начало отсчета выбирать в начале участка – рис. 4.27, а). Запишем выражения для продольной, поперечной сил и изгибающего момента на каждом участке, используя вышеприведенные определения этих усилий и правила знаков для них:
участок 1: м;
кН;
;
;
участок 2: м;
кН;
кН;
;
участок 3: м;
кН;
кН;
.
Строим эпюры усилий, используя написанные выражения (рис. 4.27, б, в, г). Значение максимального момента определяем так же, как в балках.
Рис. 4.28. Проверка равновесия узлов
Проверку правильности построения эпюр в рамах производим, проверяя равновесие узлов. Для этого вырезаем узлы (в рассматриваемой раме их два: D и E) и прикладываем к сечениям, примыкающим к узлам, все внутренние усилия согласно построенным эпюрам. Направление усилий должно соответствовать их знакам. На рис. 4.28 показаны вырезанные из рамы узлы D и E вместе с действующими в сечениях, примыкающих к узлам, внутренними усилиями. Видно, что узлы находятся в равновесии. Из условия равновесия узлов следует, что, если в узле не приложена внешняя пара сил (узел D), то изгибающие моменты в сечениях, примыкающих к узлу, обязательно одинаковы. То есть, зная изгибающий момент в угловой точке для стойки, можно получить графически ординату М в угловой точке для ригеля, проведя циркулем дугу из вершины угла, как из центра. Если в узле действует сосредоточенная пара сил, то значения изгибающих моментов в примыкающих сечениях отличаются на величину этой пары.
4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22) Условие задачи
Для рамы, показанной на рис. 4.26, найдем вертикальное перемещение точки В и угол поворота сечения А. Жесткость стержней рамы будем считать одинаковой (). Перемещения ищем методом Максвелла – Мора, интегрируя формулу Максвелла – Мора аналитически и графически (с помощью правила Верещагина).
Решение
Рис. 4.29. Рама под действием единичной обобщенной силы:
а– соответствующей
;б– соответствующей
Будем искать первое обобщенное перемещение – вертикальное перемещение точки В. В соответствии с методом Максвелла – Мора для определения этого перемещения приложим в точке В единичную вертикальную сосредоточенную силу (рис. 4.29, а) и найдем изгибающий момент, вызванный этой нагрузкой (координаты 
,
,
должны отсчитываться так же, как при определении момента от заданной нагрузки):
участок 1: м;
;
участок 2: м;
;
участок 3: м;
.
Аналогично для определения второго обобщенного перемещения – угла поворота сечения А – приложим в точке А сосредоточенную пару сил, равную единице (рис. 4.29, б), и определим изгибающий момент от этой пары:
участок 1: м;
;
участок 2: м;
;
участок 3: м;
.
Вариант 1. Аналитическое интегрирование формулы
Подставим в формулу Максвелла – Мора (4.21) выражения для изгибающих моментов от заданной нагрузки, найденные ранее при определении внутренних усилий в рассматриваемой раме, умножим их на выражения для изгибающих моментов от единичных обобщенных сил на всех трех участках и выполним интегрирование. Тогда, учтя, что , проинтегрируем формулу (4.21):
250 кН·м 3 ;
–63,3 кН·м 2 .
В соответствии с правилом знаков метода Максвелла – Мора положительный знак вертикального перемещения говорит о том, что точка В перемещается по направлению обобщенной силы, то есть вверх. Сечение А поворачивается по часовой стрелке (в сторону, противоположную направлению единичной пары сил, так как знак угла поворота отрицательный).
Вариант 2. Интегрирование формулы Максвелла – Мора с помощью правила Верещагина
Рис. 4.30. Эпюры моментов: а– от заданной нагрузки;
б– от единичной обобщенной силы, соответствующей;
в– от единичной обобщенной силы, соответствующей
Построим эпюры моментов от заданной нагрузки М и от единичных обобщенных сил, соответствующих искомым перемещениям, М1 и М2 (рис. 4.30). Для перемножения эпюр разобьем эпюру М на 4 простые фигуры: два треугольника w1 и w3, сегмент w2 и трапецию w4. Найдем ординаты под центрами тяжести этих фигур на эпюре М1 (h1, h2 и h3 на рис. 4.30, б). Эпюру М на ригеле, имеющую форму трапеции w4 с основаниями разного знака, умножаем на трапецию эпюры М1 по правилу трапеций (4.24). Согласно правилу Верещагина
кН·м 3 .
Аналогично находим угол поворота сечения А, перемножая эпюры М и М2. Ординаты под центрами тяжести площадей w1, w2 и w3 показаны на рис. 4.30, в (h¢1, h¢2 и h¢3). Для перемножения трапеции w4 на прямоугольник эпюры М2 нет необходимости пользоваться правилом трапеций, так как, где бы ни находился центр тяжести трапеции, значение h¢4 известно (ординаты на эпюре М2 на этом участке постоянны).
Рис. 4.31. Изогнутая ось рамы
кН·м 2 .
Результаты, полученные по двум вариантам использования формулы Максвелла – Мора, совпадают.
В заключение построим деформированную ось рамы так, чтобы она удовлетворяла эпюре изгибающих моментов и условиям закрепления рамы (рис. 4.31). На рис. 4.31 показаны полученные перемещения –
,
в соответствии с их направлениями. Точка перегиба (крестик) изогнутой оси ригеля имеет место в сечении, где меняет знак изгибающий момент. Углы рамы в процессе деформации не меняются. 11
Источник