Участок
У Марии есть квадрокоптер, который делает фотографии с большой высоты. Чтобы вместе с ней решить задачу, сначала пройди обучение.
Обучение
Участок разделен на квадраты. Известно, что размер пруда — 1 метр на 1 метр, а соседнего квадрата — 2 метра на 2 метра. Запиши длину нижнего квадрата.
Участок — обучение
Получится, что длина неизвестного поля равна: 2 + 1 = 3 =>
Участок — обучение
Мы наклонили поле. Запиши длины сторон всего участка.
Участок наклонили
Сложим известные стороны и получим неизвестные, а именно: 2 + 3 = 5 в длину и 2 + 1 = 3 в ширину.
Участок
Задание:
Участок разделён на квадраты. Известно, что размер пруда — 1 метр на 1 метр, а длины всех сторон квадратов — целые числа. Запиши длину и ширину всего участка.
Запиши длину и ширину участка
Решение:
Из условия задачи известно, что размер пруда — 1 метр на 1 метр, а длины всех сторон квадратов — целые числа, значит можем рассчитать длины каждого из квадратов, на который поделен участок.
Стороны квадратов участка
И осталось сложить стороны квадратов и получим искомые длину и ширину участка.
Участок
Ответ: длина участка — 7, а ширина 9.
Решение задания «Участок» на видео
Источник
Задача про кувшинки на пруду
Попробуйте отгадать эту задачу не математически, высчитывая по формулам площади, а логически, используя уже имеющиеся знания.
Кувшинки на пруду у Филеаса Фогга
Мистер Филеас Фогг решил развести в двух своих прудах необычные кувшинки. Для этого он посадил по кувшинке в каждый пруд. В первом она начала размножаться так, что каждый день число кувшинок увеличивалось в два раза. В итоге за 48 дней они покрыли своей площадью весь пруд. 
Но его подруга Белинда Мэйз захотела помочь Филеасу.
Она тоже посадила в один день с ним в другой пруд кувшинку.
За сколько дней второй пруд весь покроется кувшинками?
Ответ на задачу про кувшини в пруду:
Что странного в задаче про кувшинки
Этот вариант задачи часто встречается в интернете и я не слишком изменил условия.
Однако пытливый читатель может заметить одно несоответствие реальности. Но если перевести эту задачу из чисто математической в практическую, как говорят: — «основанную на реальных событиях», то обнаруживается одно веселое недоразумение в условии задачи.
Пусть одна кувшинка занимает площадь всего 20 на 20 см (0,2*0,2=0,04 кв. метра) .
Тогда через 29 дней она займет 2 в 29 степени=536 870 912*0,04 мкв=21474837 квадратных метра площади.
Или 21.5 кв. км. А на 30-ый день- 43 кв. километра! Это площадь прямоугольника более чем 5×8 км. 
Т.о. пруд у Филеаса Фогга довольно немалый. Это целое озеро!
А вот далее уже нереальные для прудика цифры:
2 в 40-ой степени=281 474 976 710 656 квадратных метра.
Или округленно 281 500 000 кв. километров
Это не пруд и не озеро, а целый океан с кувшинками, со стороной около 17000 километров! Это более чем треть земного шара. Вот так задача!
Тогда, для правдоподобия, эту задачу надо сформулировать про океан на другой планете или считать кувшинки, выросшие хотя бы за за неделю 🙂
2 вариант задачи про кувшинки
Если за 48 дней кувшинки покрыли весь пруд, то за сколько дней они покроют половину пруда?
Источник
План побега
Задача
Заяц оказался в центре круглого пруда, на берегу которого стоит Волк. Заяц хорошо плавает, а Волк плавать не умеет, но его скорость на берегу в четыре раза больше, чем у Зайца в воде. Если Заяц выберется на берег в точке, в которой нет Волка, то убежит, поскольку бегает он быстрее. Сможет ли Заяц спастись в этой ситуации?
Подсказка
На какое наибольшее расстояние от центра пруда может отплыть Заяц, постоянно оставаясь при этом на максимально возможном расстоянии от Волка? Что ему делать после этого?
Решение
Пусть, для определенности, радиус пруда равен 1, а Заяц плавает со скоростью v. Тогда Волк бегает со скоростью 4v.
Заметим сразу, что самая простая тактика Зайца — плыть прямо в противоположном направлении от изначального положения Волка — не сработает: до берега он доберется за время 1/v, а Волк, которому надо преодолеть расстояние π по берегу, добежит туда за время π/4v, то есть быстрее (ведь π 
Все это означает, что Заяц может удалиться на расстояние 1/4 от центра пруда, оставаясь в выгодном для себя положении. После этого ему надо на полной скорости поплыть прямо к берегу: оставшееся расстояние 3/4 он проплывет быстрее, чем Волк пробежит всё тот же полукруг длиной π: время 3/4v уже меньше, чем π/4v.
Послесловие
Эта несложная задача известна с 60-х годов прошлого века и давно стала классикой «кружковской» и «олимпиадной» математики. Приведенное выше решение верное, но в нем есть одна небольшая проблема, которую полезно обсудить, поскольку неожиданно она довольно быстро выведет нас в «серьезную» математику.
Можно заметить, что даже если Заяц не ленится и плывет максимально быстро, то удаление от центра пруда происходит со скоростью \(v_y=\sqrt
Этот вопрос не такой отвлеченный, как может показаться. Рассмотрим сначала совсем простой пример подобной ситуации. Допустим, что один объект по прямой приближается к другому со скоростью, численно равной расстоянию между объектами. Объекты, разумеется, мы считаем точечными (как и Зайца с Волком в нашей задаче), но, чтобы не путаться, представим себе, что это лодка причаливает к пристани. Итак, на расстоянии d от пристани скорость лодки равна d. В частности, это означает, что рядом с пристанью скорость лодки будет совсем маленькой (и стремится к нулю по мере приближения), то есть она не ударится. Правда, самого причаливания за конечное время не произойдет.
Действительно, время, которое понадобится лодке, чтобы добраться от d = 1 до d = 1/2, будет больше, чем 1/2, поскольку скорость на этом участке пути меньше 1 (единицы измерения здесь не важны, но можно считать, что везде подразумеваются метры, секунды и метры в секунду). Время, которое понадобится лодке, чтобы добраться от d = 1/2 до d = 1/4 тоже будет больше, чем 1/2, поскольку на этом участке пути ее скорость меньше 1/2. Дальше все повторяется: чтобы сократить расстояние до пристани еще в два раза, лодке требуется не меньше 1/2 единиц времени. Легко видеть, что на расстоянии \(1/2^n\) от пристани лодка окажется через \(n/2\) единиц времени. Вот и получаем, что причаливание никогда не состоится: время растет неограниченно, а расстояние нулевым не становится.
Не случится ли того же самого у Зайца с Волком? Ситуация ведь довольно похожа: заплыв от центра пруда к заветной окружности радиуса 1/4 — это, по сути, то же самое причаливание к ней (как мы отметили выше, скорость Зайца по мере приближения к ней тоже стремится к нулю). Давайте посчитаем.
Итак, расстояние \(x\) меняется от 0 до 1/4, а скорость Зайца равна \(V(x)=v\sqrt<1-(4x)^2>\). Чтобы не возиться с лишними коэффициентами, сделаем замену: \(X=4x\). Тогда \(0\le X\le1\), а функция \(V(X)=v\sqrt<1-X^2>\) убывает при изменении X от 0 до 1, причем, \(V(0)=v\), \(V(1)=0\).
Снова используем идею с делением всего отрезка \([0;\ 1]\) на части. Правда в этом случае они будут чуть более неуклюжие, чем в примере с лодкой и пристанью: точками деления будут \(X_n=\frac<\sqrt<2^<2n>-1>><2^
Длина первого участка (между точками \(X_0\) и \(X_1\)) меньше 1, а скорость на нем больше, чем \(V(X_1)=v/2\), поэтому Заяц проплывет его быстрее, чем за \(2/v\).
Длина n-го участка между точками \(X_
Эти простые модельные задачи иллюстрируют важный факт из теории автоматического управления: если причаливание описывается слишком хорошим законом движения, то оно будет длиться бесконечно долго. В математике часто считается, чем больше раз функция дифференцируема, тем она лучше. В этом случае все портится, если функция скорости от координаты дифференцируема в нуле (считаем, что координата нулевая на пристани).
Здесь уместно привести небольшой отрывок из книги В. И. Арнольда Что такое математика?:
Эта дискуссия о математической строгости оснований науки вспомнилась мне, когда мой близкий друг, занимавшийся рассчитыванием траекторий спутников и космических кораблей, М. Л. Лидов, стал спорить со мной по поводу моего курса теории дифференциальных уравнений (он читал в МГУ в это же время лекции о спутниковой баллистике, и мы нередко обсуждали с ним то и другое, особенно потому, что я тогда тоже много занимался небесной механикой),
«Как и все математики,— сказал мне Миша,— ты учишь студентов теореме единственности, согласно которой интегральные кривые обыкновенных дифференциальных уравнений не пересекаются. Но это утверждение (хотя вы его и доказываете безукоризненно правильно) совершенно неверно. Например, уравнение \(dx/dt =-x\) имеет решения \(x = 0\) и \(x = e^<-t>\). Интегральные кривые — графики этих двух решений — любой компьютер прекрасно нарисует, и ты увидишь, что они совершенно явно пересекаются.
Ибо, например, при \(t = 10\) между этими двумя интегральными кривыми не просунешь и атома. Так что теорема единственности — это математическая фикция, имеющая мало отношения к реальному миру».
После этого собеседник объяснил мне, что именно из-за описанного эффекта при каждом причаливании корабля к пристани в последний момент матрос бросает на пристань чалку, которую там быстро наматывают на кнехт (часто это делает, спрыгнув на пристань, тот же матрос), после чего заключительная часть причаливания происходит вручную, путем вытягивания чалки.
Объясняется все это так. Автоматическое причаливание, в соответствии с общими принципами теории управления, основано на обратной связи: наблюдая оставшееся до причала расстояние \(x\), управление выбирают так, чтобы скорость причаливания плавно уменьшать до нуля (как функцию от \(x\)). Естественно, эта функция — гладкая, т. е. при малых расстояниях \(x\) скорость будет убывать с \(x\) приблизительно линейно.
По обсуждавшейся выше теореме единственности, время причаливания будет бесконечным при любом таком механизме гладкой обратной связи. Чтобы причалить за конечное время, нужно либо отказаться от принципа регулирования (с гладкой обратной связью), заменив управление скоростью корабля работой матроса с чалкой, либо согласиться на удар корабля о причал в заключительной стадии причаливания (для чего и обвешивают край пристани отслужившими автомобильными покрышками).
Старая добрая задача. Единственное, что в послесловии хотелось бы узнать больше про реальный мир.
Скажите, эти эффекты побега «зайца» наблюдаются, например, в мире атомов и электронов, или может даже на планетарном масштабе?
Т.е. на первый взгляд «заяц» замкнут в потенциальной яме, но если начнет «крутиться» то есть шансы выскочить из плена.
По-моему, тут кое-что притянуто за заячьи уши!
И решается задача любым ребенком и чистой арифметикой, ни одной переменной, тем более в квадрат возведенной не нужно!
1) вспомнил, что длина окружности прямо пропорциональна радиусу.значит, если заяц и волк будут вынуждены синхронно описывать круги — заячий круг должен иметь радиус, вчетверо меньший волчьего
2) принял как условие, что заяц (плыть) и волк (бежать) могут каждый только с одной личной своей скоростью. Никаких разгонов, плавных торможений.
3) решаю:
А) Заяц в центре пруда в воде оставляет кусок пенопласта (у него в кармане был) и отправляется в плавание, выполняя одно условие: зорко следит, чтоб меж ним и волком был тот самый кусок пенопласта, причем волк над пенопластом стоял как мишень на мушке при стрельбе в тире, иначе говоря, чтоб все трое они были на одной прямой.
Б) очевидно, зайцу просто придется двигаться по спирали — ведь если он хоть на секунду перестанет увеличивать расстояние до центра пруда (хоть секунду станет двигаться по кругу) — как тут же «опередит график» — он выскочит из прямой, проходящей через центр пруда и волка — потому, что окружности с радиусом меньше четверти радиуса пруда слишком малы, чтоб описывая их можно было иметь равную с волком угловую скорость.
В)достигнув расстояния четверти радиуса пруда, заяц может «расслабиться» — терерь можно не беспокоиться о своей хитрой спиральной траектории, а просто плавать по кругу хоть до морковкина заговенья. Или — в любой момент — начать плыть прямиком к берегу — волк заведомо не догонит, расстояние в целых 0,14 радиуса пруда будет от места выхода на берег до волка
И никаких проблем , описанных в послесловии (с попаданием на окружность с радиусом r=R/4) быть не может, именно потому что на любой другой окружности меньшего радиуса угловая скорость движения зайца больше угловой скорости волка, а это зайцу совсем-совсем не нужно, и этот излишек проплываемого пути умный заяц (с благодарностью к автору задачи) обратит в направлении от центра, чтоб волк продолжал быть «на мушке»
И причаливание (снижение скорости по мере приближения к стыковочному узлу) никак, кроме как притянутым за уши, в этой задачке я увидеть не смог)
на любой другой окружности меньшего радиуса угловая скорость движения зайца больше угловой скорости волка [. ] и этот излишек проплываемого пути умный заяц [. ] обратит в направлении от центра
И Вы тоже не шутите?
Разве Ахилл не догнал уже однажды черепаху?)
По-моему все оч просто: Ваша, уважаемый Роман, Лодка (умозрительная, обладающая не только фантастическим свойством придерживаться скорости, в точности равной расстоянию до пристани, но и плохо осуществимыми умениями как отслеживать это расстояние, так и изменять в соответствии с ним скорость абсолютно плавно, ни малой даже доли секунды не пропуская между измерениями-коррекциями) — так вот, лодка эта действительно снижает скорость до нуля, но если ее скорость равна расстоянию до причала, то и это расстояние в этот момент равно скорости, а именно равно оно нулю! И как бы близко лодка не подплыла к причалу — скорость у нее имеется и никак по условию задачки не может быть равной нулю ранее, чем эти две точки станут одной. Другое дело, что при таком «черепахо-ахиллесовом» способе движения этот процесс приобретает идиотскую бесконечность, но раз двигаться она не перестает, то и шанс у лодочника доплыть до пристани остается! Надежда умирает последней!))
Я уверен, что в реальности лодочник, занимающийся беспрерывными замерами расстояния и синхронной корректировкой скорости лодки — очень скоро наткнется на проблему дискретности вещественного мира и последние нано-пико-что-тоещётам-метры вынужден будет нарушить условия задачи. т.к. снижать верно скорость не сможет ввиду того, что акселератор сделан из атомов, топливо лодки тоже, и регулировать подачу топлива дозами, меньшими чем эти самые атомы у него получаться не будет) Случайно просунет в камеру сгорания молекулу керосина на пол-атома глубже — и на тебе! Причалил! А как не хотелось!
))
С зайцем же и вовсе иначе дело! он не движется к целевой окружности по прямой, а, наоборот, плывет практически поперек этого направления, поперек радиуса. Вы умеете плавать? Вы, уважаемый Роман, пробовали плыть по кругу? Это неудобно и тяжело, все время нужно загребать одной рукой больше, чем другой, ногами что-то такое вытворять неловкое — куда проще плыть по прямой, и потому проще сдвигаться прочь от центра, чем удерживаться на одном расстоянии от него. Потому заяц обязательно доплывет до нужной окружности!)
Еще один пример Вашей ахиллесовой шутки — это знаменитая задача о на всех парах несущихся друг другу навстречу по одному рельсовому пути поездах, между которыми снует муха. Натыкается на лобовое стекло одного и отправляется ко второму, встречному, ударяется о лобовое того, другого — и обратно, и так до самого момента их столкновения. Говорят, если хоть в одном из этих поездов окажется математик и он начнет считать ряд отрезков, которые чертит эта муха — выйдет, что катастрофы не будет! муха бесконечно будет сновать между лобовыми стеклами поездов, пролетая все меньший и меньший отрезки, и никогда не остановится и — Слава Ей! Ведь только так она отсрочит столкновение на века и спасет жизни пассажиров обоих составов!) ну, и математик, конечно, пригодился))
И еще, как полагаете, именно этот Ваш математический способ доказать невозможность причалить не натолкнул ли как раз уважаемого Леонида Ге на мысль, что можно добиться совпадения зайца и волка из обсуждаемой задачи путем уменьшения радиуса пруда?
Радиус уменьшили — и величина (Пи-3)R стала меньше! чем меньше R — тем меньше эта величина. Очевидно, что когда-то она станет равна нулю — заяц будет пойман!
но, благодаря неспособной причалить ахиллесовой лодке мы теперь знаем: никогда этого не произойдет! И с этим я полностью согласен!)
Цветасто излагаете. Что твой эмигрантский писатель.
Только одна придирка: задача‑то математическая, а не физическая. Упоминания об устройстве реального мира не гармонируют со стилем задачи и приведённого здесь решения.
Да, задача старая, встречал ее давно в англоязычном варианте — на собеседовании при приеме на работу программистов.
Интереснее решить такой вариант: каков минимальный радиус пруда, при котором заяц может убежать?
простите, уважаемый Леонид Ге, я полагал, что Вы шутите. (
Раз это не так, раз вы не шутили — вынужден Вас разочаровать:
Задача здесь решена в общем случае. Без цифр. (Кроме отношения скорости пловца-зайца к скорости бегуна-волка).
Это значит, что никакие конкретные значения радиуса ничегошеньки изменить не могут: всегда при такой стратегии зайца и таком соотношении скоростей волка и зайца — всегда волку будет не хватать четырнадцать сотых радиуса пруда. Разве что если радиус будет равен нулю — то есть, когда пруда не станет вовсе.
При всех иных значениях между точкой высадки зайца и волком будет оставатья кусочек окружности.
Единственная возможность преодолеть эту нерадостную для волка судьбу — перестать унижать его, пренебрегая его размерами, считая его невесомой точкой. Нужно отнестить к нему как к полноценному зверю, и сравнивать его размеры с той самой долей радиуса пруда, которую он, несмотря даже на это наше уважение к нему, пробежать успевать все-таки не станет)
Вставлю свои пару слов. Там вроде пытался начать обсуждать.
http://math.hashcode.ru/questions/188661/%D0%BC%D0%B0%D1%82% D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0% D1%8F-%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D0%BE%D0%B B%D0%BA-%D0%B8-%D0%B7%D0%B0%D1%8F%D1%86
Для зайчика можно облегчить положение. Смысл там простой.
Смысл в том, что зайчик может плыть как хочет, а волк для оптимального ареста зайчика по кругу и держаться как можно ближе к нему. То есть я бы посоветовал зайчику плыть не в виде кривой, в а в виде ломанной. Зачем плыть по дуге если можно дугу спрямить прямой или отрезком. Смысл в том, что длина окружности всегда меньше длины вписанного в неё многоугольника. Так даже можно найти такой многоугольник где полный оборот равен обороту волку по кругу. И когда зайчик приблизиться к берегу на минимальное расстояние. тогда и плыть к берегу.
То есть зайчику надо плыть не по окружности, а по многоугольнику вписанному в окружность. Ведь прямая это минимальное расстояние между точками. а дуга всегда длинее.
Для примера рассмотрим шестиугольник вписанный в некую окружность. Плывя по этому шестиугольнику так чтоб волк бегал бы с таким же периодом.
Допустим радиус озера равен 4. Тогда если бы заяц плыл по кругу внутри озера с одинаковым периодом, что и у волка. Он должен плыть по окружности с радиусом 1. Раз скорость меньше в 4 раза.
Если же зайчик плывёт по шестиугольнику правильному. то он плывёт так, что время от времени касается описанной окружности с радиусом 1,047197
То есть время от времени он всё таки оказывается ближе к берегу. Чем если бы плыл по окружности.
Теперь рассмотрим стратегию движения зайчика. Начинает с центра и плывёт в некотором направлении. волк бежит по какой то дуге. Пройдя четверть расстояния зайчик поворачивает в сторону от волка градусов например на 20. Опять четверть расстояния плывёт. плывёт всё время прямо. И потом опять поворачивает.
Так в виде ломанной он плывёт до тех пор пока не попадёт на окружность описанной вокруг шестиугольника. Вот тут он должен будет плыть по хорде. Если длина хорды меньше чем радиус этой окружности. то есть 1,047197. то волк будет его догонять. если больше хорда то волк будет отставать.
И теперь уже дело техники так подобрать несколько хорд. чтоб оказаться на окружности в тот момент когда волк будет на максимальном расстоянии от него. То есть на диаметре будет и волк и заяц.. в этот момент плыть к берегу.
Можно конечно взять хорду другую. не от шестиугольника, а например от квадрата или треугольник. или просто от вообще какой нибудь ломанной.
Смысл в том, что зайчику не обязательно держаться на максимальном удалении от волка во время всего плаванья. Волк пускай будет ближе. Просто двигаясь по хорде. он просто меньше проплывёт и обгонит его.
Нарисуйте мысленно окружности разного диаметра. и заяц пусть плывёт по ломанной. каждый участок ломанной есть хорда некой окружности.
Смысл движения такой.
Заяц плывёт всегда прямо. поворачивая время от времени. и плывёт всегда по хорде.
Дифф.ур. получается такой x’=sqrt(1-16x^2). Решение: x=sin(4t)/4, значит t=pi/8. Получается, что к критической окружности радиуса 1/4 заяц подойдет по полуокружности радиуса 1/8 (а не блуждая по спирали 6 единиц времени).
Вообще, еще лучше было бы решать эту задачу не через критическую окружность, а через критическую полосy (4-pi)/4; 1/4
Источник