Два пустых бассейна наполнили водой с помощью 7 одинаковых труб

Содержание

Два пустых бассейна наполнили водой с помощью 7 одинаковых труб
Два пустых бассейна наполнили водой с помощью 7 одинаковых труб
Математика 1 Вариант № 31/ 02 А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ

Два пустых бассейна наполнили водой с помощью 7 одинаковых труб

Первая труба заполняет бассейн за 7 часов, а две трубы вместе — за 5 часов 50 минут. За сколько часов заполняет бассейн одна вторая труба?

Первая труба заполняет бассейн за 7 часов, две трубы вместе — за за 5 часов 50 минут то есть за 35/6 часа. Это значит, что за час первая труба заполняет 1/7 бассейна, а две трубы — 6/35 бассейна. При совместной работе производительности складываются, поэтому производительность второй трубы равна разности общей производительности и производительности первой трубы: бассейна в час. Тем самым, вторая труба заполняет бассейн за 35 часов.

То же самое решение составлением уравнения.

Поскольку первая труба заполняет бассейн за 7 часов, она заполняет одну седьмую бассейна в час. Пусть x — время, за которое вторая труба заполняет бассейн, в час она заполнит 1/х часть бассейна. Известно, что две трубы, работая одновременно, заполнили бассейн за 35/6 часа. Значит, в час они заполняли 6/35 бассейна. Тогда получаем:

Можно даже проще. Найдём время заполнения каждой трубы t, объём выполненной работы V и выполненную работу A (в нашем случае она будет равна 1, так как они заполнили 1 бассейн). Итак, время второй трубы обозначим за x, так как она нам не известна. А первая труба заполняет бассейн за 7 часов. Тогда объём работы 1 трубы будет равен 1/7. Аналогично 2 труба 1/х. Это мы нашли объём выполненной работы каждой трубой по отдельности. Нам известно что 2 трубы вместе выполнили данную работу за 5 часов 50 минут (то есть 5 целых 5/6). Тогда общий объём равен 6/35 (просто переведите 5 целых 5/6 в неправильную дробь и разделите 1 на на неё). Отсюда следует, что:

Источник

Два пустых бассейна наполнили водой с помощью 7 одинаковых труб

То же самое решение составлением уравнения.

Источник

Математика 1 Вариант № 31/ 02 А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ

1) 11; 2) 17; 3) 14; 4) другому числу; 5) неопределенность, так как содержит бесконечно много слагаемых.

ОДЗ: Число 2 – решение неравенства. Пусть Тогда для значений х из ОДЗ имеем С учетом ОДЗ и того, что число 2 входит в множество решений получим Сумма всех целочисленных решений равна 2 + 3 + 4 + 5 = 14. Ответ : 14.

А 10. Множество всех решений неравенства

на числовой прямой представляет собой

1) объединение двух непересекающихся интервалов;

2) объединение интервала и луча, не пересекающихся друг с другом;

4) объединение двух непересекающихся лучей;

Ответ : множество всех решений представляет собой объединение интервала и луча..

А 11. Пусть — решение системы

Тогда значение выражения

1) равно 2) равно 3) равно 4) равно другому числу; 5) не вычисляется однозначно.

Решение. Возведем в квадрат каждое уравнение:

А 12. Чтобы из графика функции получить график функции нужно произвести

1) сначала сжатие в 4 раза вдоль оси абсцисс, потом сдвиг на 5 единиц вправо;

2) сначала растяжение в 4 раза вдоль оси абсцисс, потом сдвиг на 5 единиц вправо;

3) сначала сжатие в 4 раза вдоль оси абсцисс, потом сдвиг на 5 единиц влево;

4) сначала растяжение в 4 раза вдоль оси абсцисс, потом сдвиг на 5 единиц влево;

5) сначала сдвиг на 5 единиц вправо, потом сжатие в 4 раза вдоль оси абсцисс.

Решение. Строим цепочку функций: .

Этой цепочке соответствует вариант ответа 5. Ответ : верен вариант ответа 5.

Замечание. Цепочка функций, с помощью которой преобразуются графики, строится неоднозначно. Вместо попыток построения цепочки преобразований, предусмотренной вариантом ответа, можно записать функцию, которая получается в каждом варианте.

А 13. Вершина параболы, задаваемой на координатной плоскости уравнением

1) строго в 1 четверти; 2) строго во 2-й четверти; 3) строго в 3-й четверти;

4) строго в 4-й четверти; 5) возможно, на координатной оси.

Решение. Так как то оси параболы направлены вниз. Так как , то абсцисса вершины отрицательна. Так как , то парабола пересекает ось абсцисс в двух разных точках. Ответ : вершина параболы лежит строго во второй четверти..

А 14. Тангенс угла между касательными, проведенным к графикам функций и в точках с абсциссой х о = 1, равен

1) 2) 3) 4) 5) другому числу.

Решение. Для первой функции Для второй функции Тангенс угла между касательными вычислим по формуле

А 15. Наибольшее целое значение а , при котором уравнение имеет бесконечно много решений , равно

1) 9; 2) 12; 3) 7; 4) 10; 5) 8.

Решение. Метод введения дополнительного угла позволяет записать: , где . Поэтому

А 16. Количество различных значений для каждого из которых уравнение

имеет хотя бы один корень, равно

1) 17; 2) 16; 3) 6; 4) 9; 5) другому числу.

Решение. Воспользуемся формулой Тогда . Выражение левой части уравнения не может принимать значения меньше нуля, а правой части не может принимать значения больше нуля. Поэтому уравнение равносильно системе уравнений

Переменные n и k пробегают все множество Z независимо друг от друга и параметр а принимает любое значение, кратное Ответ : 17.

А 17. В треугольнике АВС с углом и сторонами АВ = 5 и косинус угла при вершине С равен

Решение. По теореме синусов

А 18. На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка E , а отрезки AE и BD пересекаются в точке F . Если BF : FD = 3 : 5, то прямая AE делит площадь параллелограмма ABCD в отношении

1) 3 : 7; 2) 3 : 10; 3) 3 : 5; 4) 3 : 8; 5) 9 : 25.

Решение. Прямая, проведенная через точку С параллельно АЕ , вместе с прямой АЕ делит BD , считая от В , в отношении 3 : 2 : 3. По теореме Фалеса точка Е делит сторону ВС в отношении 3 : 2. Поэтому АЕ делит площадь параллелограмма в отношении к . Ответ : 3:7.

А 19. Если окружность, проходящая через вершины А, В и D трапеции ABCD с основанием BC = 3 и диагональю BD = 5 касается прямых BC и CD , то основание AD равно

1) 2) 5; 3) 4) 25/3; 5) 7.

Решение. Обоснование чертежа. По свойству касательных Если угол С прямой, то В D = С тупой и центр О окружности лежит вне трапеции. По формуле Герона площадь треугольника BCD равна Пусть h – длина высоты треугольника BCD . Тогда По теореме Пифагора Ответ : 25/3.

А 20. Наибольшая площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью, параллельной его скрещивающимся ребрам AB = 8 и CD = 5, образующим между собой угол в 30 о , равна

Решение. Возьмем сечение параллельное ребрам AB и CD . Пусть Так как , то Так как , то Сложив два равенства, получим Для площади параллелограмма, полученного в сечении, имеем

А 21. Точки А, В и С лежат соответственно на трех ребрах куба, выходящих из его вершины D , причём AD = 1, BD = 1/3 и CD = 4/3. Радиус вписанного в пирамиду ABCD шара равен

1) 1/8; 2) 1/24; 3) 1/72; 4) 2/13; 5) 1/6.

Решение. Так как , то по формуле Герона Пусть О – центр вписанного шара. Объем пирамиды складывается из объемов пирамид ABCO , ABDO , ACDO и BCDO . У всех четырех пирамид высота, опущенная из вершины О, равна радиусу шара r . Отсюда,

К заданиям этой части ответы не даны. Решив задание, запишите полученный Вами ответ на бланке рядом с номером задания, начиная с первого окошка. Ответом может быть только целое число (как его образовать, объяснено в задании). Никаких слов в ответе писать нельзя.

В 1. В компании из трех человек один – правдивец (1), т. е. всегда говорит правду, один – лжец (2), т. е. всегда лжет, и один – дипломат (3), т. е. говорит правду или лжет по своему усмотрению. Чтобы узнать, кто из них есть кто, каждого спросили, кто он есть. Первый ответил, что он правдивец, второй – что он не дипломат, а третий – что он или лжец, или дипломат. Судя по ответам, первый, второй и третий из них – это соответственно (перечислить цифры 321 в нужном порядке без запятых) …

Решение. Начнем заполнять таблицу. В первой строке перечислены все варианты расположения трех человек. Значком «+» отмечаем истинный факт, а значком «-» ложный.

Уже третий вариант полностью соответствует условиям задачи. Первым отвечал лжец и сказал, как и должен, неправду, вторым отвечал правдивец и сказал правду. Дипломат мог говорить, что угодно. Ответ : 213.

В 2. Количество двузначных чисел, каждое из которых ровно на 21 меньше суммы квадратов своих цифр, равно …

Решение. Если х – первая цифра, а у – вторая цифра числа, то или Произведение двух последовательных целых чисел четно, так как из двух последовательных целых чисел одно обязательно делится на 2. Если предположим, что х четно, то слева получим четное число, а справа нечетное. Противоречие. Поэтому х – нечетное число, т. е. х равно 1 или 3, или 5, или 7, или 9. Если х = 1, то у ( у — 1) = 30, у = 6. Если х = 3, то у ( у — 1) = 42, у = 7. Если х = 5, то у ( у — 1) = 46; у уравнения нет целых корней. Если х = 7, то у ( у — 1) = 42, у = 7. Если х = 9, то у ( у — 1) = 30, у = 6. Числа 16; 37; 77 и 96 и только они удовлетворяют требованиям задачи. Ответ : 4.

В 3. Два пустых бассейна наполнили водой с помощью 7 одинаковых труб: сначала все трубы направили в первый бассейн, а когда он был заполнен на 1/6 своего объема, 3 трубы переключили на заполнение второго бассейна. В тот момент, когда первый бассейн наполнили доверху, второй оказался заполненным лишь на 7/10. Объем второго бассейна относится к объему первого, как (записать отношение двух взаимно простых натуральных чисел без знака деления, например, вместо 46 : 28 следует написать 2314) …

Решение. х – производительность трубы в час, t – время работы после переключения трех труб, V 1 – объем первого бассейна, V 2 – объем второго бассейна. Тогда

В 4. Количество различных решений системы

Решение. Этим условиям удовлетворяет единственная точка графиков данных функций (-1; 0). Ответ : 1.

Образцы задач теста Математика-2

Замечание. Выигрыш во времени дает решение:

Решение. С помощью замены освободимся от знаков радикала.

Замечание. Мы воспользовались формулой , которая является частным случаем формулы перехода от одного основания к другому

но не столь известна. Можно решить пример с помощью перехода к одному основанию:

Если интуитивно ответ 0 угадан, то возникает решение:

Обратим внимание на то, что имеет место формула для всех значений а и b , для которых выражение слева имеет смысл.

Замечание. В стандартном решении использовалась формула Можно

воспользоваться формулой . Тогда

Знание формулы дает другое решение:

Замечание. Те, кто плохо помнит формулы или , наверное знают формулы и , с помощью которых также можно быстро решить задачу.

5. Решите уравнение .

Выражение слева не может принимать значений меньше 3, а выражение справа не может принимать значений больше 3. Поэтому уравнение равносильно системе двух уравнений

Из второго уравнения х = -1. Это число удовлетворяет и первому уравнению. Ответ : -1.

Замечание. Первая реакция на уравнение – приведение его к виду

Замена и преобразования, выполняемые с целью освобождения от радикалов, приводят к уравнению четвертой степени. Надо вовремя остановиться и проанализировать ситуацию. В условиях, когда на пример в среднем дается пять минут, такой путь придется отвергнуть. Остается метод оценок. При внимательном изучении уравнения увидеть, что уравнению удовлетворяет значение Осталось доказать, что корень у уравнения единственный. А это видно из того, что в левой части полученного уравнения расположена возрастающая функция, а в правой – убывающая.

6. Решите неравенство .

Решение. Область допустимых значений переменной неравенства

Попытка избавиться от иррациональностей приводит к большой цепочке выкладок и уравнению четвертой степени. Структура выражения слева подсказывает, что необходимо воспользоваться методом оценок.

Следовательно, неравенство выполняется для всех значений х из ОДЗ. Ответ :

7. Найдите сумму корней уравнения .

Так как основания степеней положительны, то

Из основного логарифмического тождества , следует, что

Корни найдены из условий , поэтому удовлетворяют уравнению; -2 + 3 = 1. Ответ : 1.

Замечание. Уравнения вида надо научиться решать с помощью теоремы Виета, точнее с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Это также даст выигрыш во времени по сравнению с вычислением дискриминанта и корней по известным формулам.

8. Решите неравенство .

Решение. Область допустимых значений переменной х

Так как , то . Отсюда,

Замечание. При решении неравенств вида выиграть время можно воспользовавшись тем, что неравенство при равносильно цепочке неравенств . Полезно знать следующие факты:

Неравенство при равносильно системе неравенств или .

Неравенство при равносильно цепочке неравенств .

9. Найдите наибольший корень уравнения на .

Из этих чисел заданному интервалу принадлежат Последнее число отбросим, так как . Подставим в уравнение число .

Получили верное равенство. Это число – наибольший корень в интервале .

10. Уравнение имеет ровно один корень, если а = ?

В первом случае Во втором случае Уравнение имеет два корня 2 и 2 а , если , причем корни совпадают, если а =1. Уравнение имеет один корень 2, если . Ответ : или а = 1.

11. Система имеет ровно два решения, если а = ?

Решение. Из второго уравнения А из первого

Из условия следует, что и , т. е.

Если , то система имеет четыре решения

Если а = 1, то система имеет два решения Если , то решений нет.

Замечание. На самом деле для решения этой задачи следовало прибегнуть к геометрическим соображениям. Так как , то график первой зависимости симметричен относительно осей координат и может быть получен симметричным отображением своей части, расположенной в первой четверти. В первой четверти график зависимости совпадает с прямой у = х – 1. Графиком второй зависимости при является окружность радиуса . Если , то графики не имеют общих точек. Если а = 1 , то графики имеют ровно две общих точек (-1; 0) и (1; 0). Если , то графики имеют четыре общих точки.

12. , , . Графики каких функций совпадают?

Решение. График первой функции прямая. График второй функции угол. График третьей функции , — верхняя часть прямой .

Ответ : графики никаких пар функций не совпадают.

Замечание к следующей задаче. Задача многим абитуриентам казалась совершенно невыполнимой, но после разбора упражнений становилась несложной.

Упражнения. (1). Дана функция . Найдите

(2). Найдите , если а) б)

Решение. Если , то и . Тогда и . Отсюда . Ответ : .

14. Наибольшее значение функции равно?

Наибольшее значение 3 достигается при . Ответ : 3.

Замечание к следующей задаче. Создается впечатление, что задача выходит за рамки школьного учебника. Но после повторения темы «Обратная функция» становится ясно, что задача действительно позволяет проверить качество усвоения этой темы.

Упражнения (из школьного учебника)

(1). Найдите обратную функцию для функции: а) ; б) ; в) .

Решение. а) В равенстве вместо у напишем х , а вместо х напишем у . Получим

. Ответ : . Ответ : б) в)

(2). Докажите, что графики двух взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х .

Доказательство. Если точка ( х, у ) принадлежит графику функции , то точка ( у, х ) принадлежит графику обратной функции и наоборот. А эти точки симметричны относительно прямой .

15. Графики функций и симметричны относительно прямой . Если , то

Решение. Точке с координатами ( х, у ) симметрична относительно прямой точка (- у, — х ). В равенстве вместо у напишем — х , а вместо х напишем – у . Получим . Тогда , . Ответ : .

16. Значение производной функции в точке равно?

17. Найдите все значения а , при которых функция убывает на всей числовой оси

Решение. Квадратный трехчлен, у которого старший коэффициент отрицательный, принимает значения , если у него дискриминант Поэтому . Функция убывает на всей числовой оси, если Ответ :

18. Найдите наименьшее натуральное х , если .

19. Найдите число всех целых решений на неравенства .

Решение. Неравенство равносильно системе

Заданному отрезку принадлежат числа -5; -4; 4 и 5. Ответ : 4.

20. Два противоположных ребра правильного тетраэдра служат диаметрами оснований цилиндра объема . Тогда ребро тетраэдра равно?

Решение. Пусть а – длина ребра. Тогда — радиус основания цилиндра. Высота цилиндра равна расстоянию между двумя противоположными ребрами тетраэдра . Это расстояние вычисляется как высота равнобедренного треугольника с боковыми сторонами и основанием а. Тогда

21. Сечение прямой треугольной призмы проходит через середины ребер АА 1 и А 1 С 1 параллельно высоте АН. Треугольник АВС прямоугольный, АВ = АС = А 1 А = . Найдите площадь сечения.

Решение. Пусть M и N – середины АА 1 и А 1 С 1 , L – точка пересечения MN с СС 1 , P – точка пересечения MN с АС, K – точка пересечения с прямой В 1 С 1 прямой, проведенной через точку N параллельно высоте А 1 Н 1 треугольника А 1 В 1 С 1 , D – точка пересечения прямой LK с BC , Е – точка пересечения с АВ прямой, проведенной через D параллельно KN . Площадь сечения получим, вычитая из площади трапеции DKNP площадь треугольника EMP .

22. Найдите число натуральных корней уравнения .

Дискриминант квадратного трехчлена равен 25 – 32 = -7 меньше нуля, поэтому трехчлен принимает только положительные значения и . Если то и уравнение перепишется в виде

Корней уравнения нет. Если , то и

Все такие значения х – корни уравнения. Натуральные корни – это числа 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 м 9. Ответ : 6.

23. Найдите площадь фигуры

Решение. Заменим х -4 на х , а у -1 на у. Перенос осей не изменит площадь фигуры. Тогда система примет вид

Фигура состоит из двух треугольников, симметричных относительно оси абсцисс, высоты 2 с основанием 12.

24. Найдите число целых значений аргумента функции , принадлежащих области определения этой функции.

Области определения функции принадлежит только одно целое число 7. Ответ : 1.

25. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противоположный катет на 10 и 8. Второй катет равен?

Решение. Пусть AL – биссектриса треугольника ABC , угол С – прямой. Тогда С L =8, В L = 10. Если LH – высота треугольника ABL , то треугольники ACL и AHL равны, LH = 8 и по теореме Пифагора BH =6. (Предположение, что С L =10, В L = 8, дает L Н = 10 и приводит к противоречию: наклонная В L короче перпендикуляра L Н ). Треугольники ABC и LBH подобны , AC = 24 . Ответ : 24.

Замечание. На самом деле задача предполагает знание следующего важного геометрического факта:

ТЕОРЕМА. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к этим отрезкам сторонам треугольника.

Доказательство 1. AL — биссектриса треугольника ABC . Требуется доказать, что

. Пусть F – точка пересечения прямой AL и прямой, проходящей через точку B параллельно стороне AC . Тогда , треугольник BAF равнобедренный и AB = BF . Из подобия треугольников ALC и FLB имеем , откуда .

Доказательство 2. Пусть F – точка пересечения AL с прямой, проходящей через C параллельно AB . Тогда можно повторить рассуждения.

Доказательство 3. Пусть K и M – основания перпендикуляров, опущенных на прямую AL из точек B и C соответственно. Треугольники ABK и ACM подобны по двум углам. Поэтому . Из подобия треугольников BKL и CML имеем .

Доказательство 4. Пусть и . В треугольнике ABL по теореме синусов . А в треугольнике ACL по той же теореме .

Так как , то поделив обе части одного равенства на соответствующие части другого, получим .

Доказательство 5. Вычислим площади треугольников ABL и ACL двумя способами:

Доказательство 6. AL – биссектриса треугольника ABC , Е – точка, симметричная точке С относительно биссектрисы, Н – точка, симметричная точке Е относительно основания перпендикуляра, опущенного из L на АВ. Тогда треугольники ACL и A Е L равны, LH = L С. Треугольники ABC и L В H подобны .

Эти доказательства дают другие способы решения задачи. А решать ее надо так:

AL – биссектриса треугольника ABC . По теореме о том, что биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, . Отсюда, С L =8, В L = 10, AB = 10 k , AC =8 k . Из того, что треугольник АВС подобен египетскому или из теоремы Пифагора BC = 6 k , 6 k = 18, k = 3, AC = 24.

26. Найдите , если

Решение. Теорема. Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Можно доказать с помощью теоремы косинусов.

При сложении двух векторов по правилу параллелограмма их сумма – это одна диагональ, а разность – другая. По теореме

28. Найдите наименьшее значение функции

Решение. Требуется найти наименьшую сумму расстояний точек плоскости до точек и . Точка симметрична точке относительно прямой

Наименьшая сумма расстояний для точек прямой равна Ответ : при

Замечание. Для лучшего понимания этого решения следует хорошо знать базовую задачу по теме «Симметрия в геометрии»

Задача. Даны две точки и по одну сторону от прямой . На прямой найдите точку для которой сумма расстояний отрезков и наименьшая.

Решение. Отобразим точку относительно прямой . Для полученной точки и любой точки прямой имеем Эта сумма наименьшая в случае, когда отрезки и лежат на прямой Поэтому для построения искомой точки следует найти точку , симметричную точке относительно прямой и провести прямую Точка пересечения и прямой и есть искомая.

Источник