Задание №189
Условие
Бассейн наполняется водой из трех труб. Через первую трубу поступает 20 м 3 воды в час. Через вторую трубу поступает на 2z м 3 воды меньше, чем через первую (0 , а через третью трубу на 10z м 3 в час больше чем через первую. Сначала одновременно были включены первая и вторая трубы и они набрали 20% бассейна, а затем работали все три трубы и долили оставшиеся 80% бассейна. Определите, при каком значении z бассейн быстрее всего был наполнен водой указанным способом.
Решение
Примем объем бассейна за единицу. По условию первая труба наливает 20 м 3 воды в час, вторая — (20-2z) м 3 , а третья — (20+10z) м 3 . Работая вместе, первая и вторая трубы наливают (20+20-2z) м 3 = (40-2z) м 3 воды в час, а работая вместе, все три трубы наливают 20+(20-2z)+(20+10z) м 3 = (60+8z) м 3 воды в час. Так как 20% составляют 0,2 бассейна, то первая и вторая трубы, работая вместе, затратят \frac<0,2> <40-2z>часов, а на оставшиеся 0,8 бассейна три трубы, работая вместе, затратят \frac<0,8> <60+8z>часов.
Весь бассейн будет налит за \left(\frac<0,2><40-2z>+\frac<0,8><60+8z>\right) часов.
Задача сводится к нахождению такого значения z , при котором значение функции t(z)=\frac<0,2><40-2z>+\frac<0,8><60+8z>, 0 будет наименьшим.
t'(z)=0, \begin
3520z=22000, z=6,25. 6,25\in (0;10).
t'(z) при z и t'(z)>0 при z>6,25, значит, z=6,25 — точка минимума функции t(z) . Быстрее всего бассейн наполнится при z=6,25 .
Источник